$a/b = c/d$のとき、以下の等式を証明する。 (1) $\frac{a+c}{b+d} = \frac{2a-3c}{2b-3d}$ (2) $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \frac{a^2}{b^2}$

1. 問題の内容

$a/b = c/d$のとき、以下の等式を証明する。

(1) $\frac{a+c}{b+d} = \frac{2a-3c}{2b-3d}$

(2) $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \frac{a^2}{b^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$a/b = c/d = k$ とおくと、$a=bk, c=dk$となる。

左辺:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k$

右辺:

$\frac{2a-3c}{2b-3d} = \frac{2bk-3dk}{2b-3d} = \frac{k(2b-3d)}{2b-3d} = k$

よって、左辺=右辺となり、等式は証明された。

(2)

$a/b = c/d = k$ とおくと、$a=bk, c=dk$となる。

左辺:

$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \frac{(bk)^2+(dk)^2}{b^2+d^2} = \frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2} = \frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2} = k^2$

右辺:

$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(bk)^2}{b^2} = \frac{b^2k^2}{b^2} = k^2$

よって、左辺=右辺となり、等式は証明された。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+c}{b+d} = \frac{2a-3c}{2b-3d}$ は、$a/b = c/d$ のとき成り立つ。

(2) $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \frac{a^2}{b^2}$ は、$a/b = c/d$ のとき成り立つ。