問題は、次の2つの分数式を既約分数式に直すことです。 (1) $\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2y^3)^2}$ (2) $\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの分数式を既約分数式に直すことです。

(1) $\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2y^3)^2}$

(2) $\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x}$

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母をそれぞれ計算し、共通因数で約分します。

$(3xy^2)^3 = 3^3x^3(y^2)^3 = 27x^3y^6$

$(3x^2y^3)^2 = 3^2(x^2)^2(y^3)^2 = 9x^4y^6$

したがって、

$\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2y^3)^2} = \frac{27x^3y^6}{9x^4y^6} = \frac{3}{x}$

(2) 分子と分母をそれぞれ因数分解し、共通因数で約分します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^3 - x^2 - 6x = x(x^2 - x - 6) = x(x-3)(x+2)$

したがって、

$\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x} = \frac{(x-3)(x+1)}{x(x-3)(x+2)} = \frac{x+1}{x(x+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{x}$

(2) $\frac{x+1}{x(x+2)}$