$a$ と $b$ は実数で、$ab > 0$ とする。次の選択肢の中から正しいものを一つ選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は実数で、$ab > 0$ とする。次の選択肢の中から正しいものを一つ選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$ab > 0$ という条件から、$a$ と $b$ は同符号であることが分かります。つまり、$a > 0$ かつ $b > 0$、または、$a < 0$ かつ $b < 0$ のいずれかです。

選択肢1: $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$

もし $a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、これは正しいです。

もし $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば、$a = -3$, $b = -1$ のとき、$a < b$ ですが、$a^2 = 9$, $b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となり、正しくありません。

例えば、$a = 1$, $b=2$ のとき、$a < b$ かつ $a^2 < b^2$ なので、$1 < 4$ となり成り立ちます。

選択肢2: $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$

もし $a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、これは成り立ちません。なぜなら、$a < b$ ならば、$a^2 < b^2$ となるからです。

もし $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば、$a = -3$, $b = -1$ のとき、$a < b$ であり、$a^2 = 9 > b^2 = 1$ となるので成り立ちます。

選択肢3: $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

$a^2 < b^2$ であるならば、$a < b$ かどうかを調べます。

$a = 1, b = 2$ ならば、$a^2 = 1 < b^2 = 4$ であり、$a = 1 < b = 2$ が成り立ちます。

しかし、$a = -2, b = -1$ ならば、$a^2 = 4 > b^2 = 1$ です。また、$a=-1$, $b=2$ のとき、$a^2 = 1 < b^2 = 4$ ですが、$a < b$ が成り立ちます。

$a = -1$, $b = 2$ は、$ab<0$ であるので、$ab>0$ という条件に反します。

もし $a$ と $b$ が同符号であれば、$a < b$ が成り立ちます。

もし $a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、これは正しいです。

もし $a < 0$ かつ $b < 0$ ならば、$a^2 < b^2 \Rightarrow |a| < |b| \Rightarrow a > b$ となり、矛盾します。

しかし、$a=-2, b=-1$ の場合は、$a^2=4 > b^2=1$ となり条件を満たしません。

$ab>0$ かつ $a^2 < b^2$ より、$a < b$ が導かれることは正しいです。

例: $a = 1, b = 2$ のとき、$1^2 < 2^2$ かつ $1 < 2$

例: $a = -2, b = -1$ は、$ab>0$ を満たしますが、$a^2=4, b^2=1$ となり、$a^2<b^2$ を満たしません。

$a=-3, b=-2$ のとき、$a^2=9$, $b^2=4$ となり、$a^2<b^2$ を満たしません。

選択肢4: $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$

これは選択肢3と同様に、$a$ と $b$ の符号が異なる場合に成り立ちません。

$a = 2, b=1$ は、$a^2=4>b^2=1$ で、$a > b$ が成り立ちます。

$a = -1, b = -2$ は、$a^2 = 1 < b^2 = 4$ なので、$a^2 > b^2$ を満たしません。

選択肢5: 上の1~4は全て正しくない

$a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$ という選択肢 3 が正しそうである。

3. 最終的な答え

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