$-\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 0$ を $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

$-\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 0$ を $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、

$-\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 0$

両辺を$\cos^2\theta$で割ると（$\cos\theta = 0$の場合、$\sin\theta = \pm 1$となり、与式を満たさないため、$\cos^2\theta \neq 0$）、

$-\tan^2\theta + 2\sqrt{3}\tan\theta + 1 = 0$

$\tan^2\theta - 2\sqrt{3}\tan\theta - 1 = 0$

$\tan\theta = x$ とおくと、$x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12+4}}{2}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{16}}{2}$

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm 4}{2}$

$x = \sqrt{3} \pm 2$

したがって、$\tan\theta = \sqrt{3} + 2$ または $\tan\theta = \sqrt{3} - 2$

$\tan\theta = \sqrt{3} + 2$ のとき、$\theta = \arctan(\sqrt{3} + 2) \approx 73.22^\circ = 1.278$ radとなり、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たす。

$\tan\theta = \sqrt{3} - 2$ のとき、$\theta = \arctan(\sqrt{3} - 2) \approx -16.78^\circ = -0.292$ radとなり、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たす。

3. 最終的な答え

$\theta = \arctan(\sqrt{3} + 2), \arctan(\sqrt{3} - 2)$

$\theta \approx 1.278, -0.292$

$\theta = \arctan(2 + \sqrt{3}), \arctan(\sqrt{3} - 2)$

$\theta = \frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}$