与えられた2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$ (2) $\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{3}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

(2) $\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{3}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$ の場合：

$y = \frac{x}{2}$ と置くと、$x = 2y$ となります。$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y} = \lim_{y \to \infty} [(1 + \frac{1}{y})^y]^2$

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y = e$ であることを利用すると、

$\lim_{y \to \infty} [(1 + \frac{1}{y})^y]^2 = e^2$

(2) $\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{3}{x}}$ の場合：

$y = -x$ と置くと、$x = -y$ となります。$x \to 0$ のとき、$y \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{3}{x}} = \lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{3}{-y}} = \lim_{y \to 0} [(1+y)^{\frac{1}{y}}]^{-3}$

$\lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} = e$ であることを利用すると、

$\lim_{y \to 0} [(1+y)^{\frac{1}{y}}]^{-3} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = e^2$

(2) $\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{3}{x}} = \frac{1}{e^3}$