与えられた10個の関数をそれぞれ微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x}$

合成関数の微分を行います。$u = 3x$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = e^x$

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

(3) $y = e^x \cos x$

積の微分を行います。

$u = e^x$, $v = \cos x$ とおくと、

$u' = e^x$, $v' = -\sin x$

$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$

(4) $y = e^x \tan x$

積の微分を行います。

$u = e^x$, $v = \tan x$ とおくと、

$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = e^x \tan x + e^x \frac{1}{\cos^2 x} = e^x(\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分を行います。

$u = e^{2x}$, $v = \sin 3x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$, $v' = 3\cos 3x$

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3\cos 3x) = e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

積の微分を行います。

$u = e^{2x}$, $v = \tan 3x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$, $v' = \frac{3}{\cos^2 3x}$

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} \frac{3}{\cos^2 3x} = e^{2x} (2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

商の微分を行います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = e^x$, $v = x^2$ とおくと、

$u' = e^x$, $v' = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x x^2 - e^x (2x)}{(x^2)^2} = \frac{x^2e^x - 2xe^x}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

商の微分を行います。

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = e^x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}} = \frac{1}{e^{\frac{x}{3}}} = e^{-\frac{x}{3}}$

合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}} = \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = xe^{-\frac{x}{2}}$

積の微分を行います。

$u = x$, $v = e^{-\frac{x}{2}}$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-\frac{x}{2}} + x (-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}) = e^{-\frac{x}{2}} - \frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}(1-\frac{x}{2}) = \frac{1-\frac{x}{2}}{\sqrt{e^x}} = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x}$

(2) $(1+x)e^x$

(3) $e^x (\cos x - \sin x)$

(4) $e^x(\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $e^{2x} (2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $\frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $\frac{1-x}{e^x}$

(9) $-\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $\frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$