曲線 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ が囲む図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めます。図形の対称性から、$V = 2 \pi \int_{0}^{1} y^2 dx$ となることを利用して、Vを計算します。

1. 問題の内容

曲線 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ が囲む図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めます。図形の対称性から、$V = 2 \pi \int_{0}^{1} y^2 dx$ となることを利用して、Vを計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ から $y^2$ を $x$ の関数として表します。

$y^{\frac{2}{3}} = 1 - x^{\frac{2}{3}}$

$y^2 = (1 - x^{\frac{2}{3}})^3$

したがって、$V = 2 \pi \int_{0}^{1} (1 - x^{\frac{2}{3}})^3 dx$ となります。

ここで、$(1 - x^{\frac{2}{3}})^3$ を展開します。

$(1 - x^{\frac{2}{3}})^3 = 1 - 3x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{4}{3}} - x^2$

したがって、

$V = 2 \pi \int_{0}^{1} (1 - 3x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{4}{3}} - x^2) dx$

$V = 2 \pi [x - \frac{9}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{9}{7}x^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3}x^3]_0^1$

$V = 2 \pi (1 - \frac{9}{5} + \frac{9}{7} - \frac{1}{3})$

$V = 2 \pi (\frac{105 - 189 + 135 - 35}{105})$

$V = 2 \pi (\frac{16}{105}) = \frac{32 \pi}{105}$

したがって、(1)の枠には2が入り、求める体積は $\frac{32\pi}{105}$ となります。

3. 最終的な答え

$V = \frac{32}{105} \pi$