次の関数の導関数を求める。 (1) $y = x^4 \log x$ (2) $y = \log(e^x + e^{-x})$ (3) $y = xe^{3x}$ (4) $y = 2^x + 2^{-x}$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求める。

(1) $y = x^4 \log x$

(2) $y = \log(e^x + e^{-x})$

(3) $y = xe^{3x}$

(4) $y = 2^x + 2^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 \log x$ の導関数

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x^4$, $v = \log x$ とすると、$u' = 4x^3$, $v' = \frac{1}{x}$ である。

したがって、

$y' = (x^4)' \log x + x^4 (\log x)' = 4x^3 \log x + x^4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3 \log x + x^3 = x^3(4 \log x + 1)$

(2) $y = \log(e^x + e^{-x})$ の導関数

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ を用いる。

$u = e^x + e^{-x}$ とすると、$y = \log u$ である。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{e^x + e^{-x}} \cdot (e^x - e^{-x}) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

(3) $y = xe^{3x}$ の導関数

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x$, $v = e^{3x}$ とすると、$u' = 1$, $v' = 3e^{3x}$ である。

したがって、

$y' = (x)' e^{3x} + x (e^{3x})' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x} + 3xe^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$

(4) $y = 2^x + 2^{-x}$ の導関数

$a^x$ の微分は $(a^x)' = a^x \log a$ である。

したがって、

$y' = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x \log 2 + 2^{-x} \log 2 \cdot (-1) = 2^x \log 2 - 2^{-x} \log 2 = (2^x - 2^{-x}) \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x^3(4 \log x + 1)$

(2) $y' = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

(3) $y' = e^{3x}(1 + 3x)$

(4) $y' = (2^x - 2^{-x}) \log 2$