関数 $f(x, y) = 4xy - x^4 - y^4$ の停留点、極大点、極小点、鞍点の数に関する記述のうち、正しいものを選択する問題です。選択肢は、停留点の数、鞍点の有無、極大点・極小点の数に関するもので、正しいものがなければ「正解はない」を選択します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 4xy - x^4 - y^4$ の停留点、極大点、極小点、鞍点の数に関する記述のうち、正しいものを選択する問題です。選択肢は、停留点の数、鞍点の有無、極大点・極小点の数に関するもので、正しいものがなければ「正解はない」を選択します。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4y - 4x^3$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4x - 4y^3$

停留点を求めるには、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる $(x, y)$ を求める必要があります。つまり、以下の連立方程式を解きます。

$4y - 4x^3 = 0$ $\implies$ $y = x^3$

$4x - 4y^3 = 0$ $\implies$ $x = y^3$

$y = x^3$ を $x = y^3$ に代入すると、

$x = (x^3)^3 = x^9$

$x - x^9 = 0$

$x(1 - x^8) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x^8 = 1$。

$x = 0$ のとき、$y = 0^3 = 0$。よって、(0, 0) が停留点。

$x^8 = 1$ のとき、$x = \pm 1$。

$x = 1$ のとき、$y = 1^3 = 1$。よって、(1, 1) が停留点。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 = -1$。よって、(-1, -1) が停留点。

したがって、停留点は (0, 0), (1, 1), (-1, -1) の３つです。

次に、ヘッセ行列を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -12x^2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -12y^2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 4$

ヘッセ行列式は、

$D(x, y) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-12x^2)(-12y^2) - 4^2 = 144x^2y^2 - 16$

(0, 0) において、$D(0, 0) = -16 < 0$ なので、(0, 0) は鞍点です。

(1, 1) において、$D(1, 1) = 144 - 16 = 128 > 0$ であり、$f_{xx}(1, 1) = -12 < 0$ なので、(1, 1) は極大点です。

(-1, -1) において、$D(-1, -1) = 144 - 16 = 128 > 0$ であり、$f_{xx}(-1, -1) = -12 < 0$ なので、(-1, -1) は極大点です。

したがって、鞍点が1つ、極大点が2つあります。

3. 最終的な答え

選択肢の中で正しいのは④ 極大点は2つある。