定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\frac{5}{2}x}\cos{\frac{x}{2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\frac{5}{2}x}\cos{\frac{x}{2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の積和の公式を使って、積分を計算しやすい形に変形します。

$\sin{A}\cos{B} = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用いると、

$\sin{\frac{5}{2}x}\cos{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2}[\sin(\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}x) + \sin(\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}x)] = \frac{1}{2}[\sin{3x} + \sin{2x}]$

したがって、積分は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\frac{5}{2}x}\cos{\frac{x}{2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}[\sin{3x} + \sin{2x}] dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{3x} + \sin{2x}) dx$

次に、それぞれの三角関数の積分を計算します。

$\int \sin{3x} dx = -\frac{1}{3}\cos{3x} + C$

$\int \sin{2x} dx = -\frac{1}{2}\cos{2x} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{3x} + \sin{2x}) dx = \frac{1}{2} [-\frac{1}{3}\cos{3x} - \frac{1}{2}\cos{2x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} [(-\frac{1}{3}\cos{\frac{3\pi}{2}} - \frac{1}{2}\cos{\pi}) - (-\frac{1}{3}\cos{0} - \frac{1}{2}\cos{0})]$

$= \frac{1}{2} [(-\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (-1)) - (-\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1)]$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2})]$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{3}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$