以下の数列の極限を求めよ。 (1) $(\sqrt{3})^n$ (2) $(\frac{2}{3})^n$ (3) $(-\frac{4}{3})^n$ (4) $2(-\frac{4}{5})^n$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の数列の極限を求めよ。

(1) $(\sqrt{3})^n$

(2) $(\frac{2}{3})^n$

(3) $(-\frac{4}{3})^n$

(4) $2(-\frac{4}{5})^n$

2. 解き方の手順

一般に、数列 $r^n$ の極限は、 $r$ の値によって以下のようになります。

* $|r|<1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty} r^n = 0$

* $r=1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty} r^n = 1$

* $r>1$ のとき、 $\lim_{n\to\infty} r^n = \infty$

* $r=-1$ のとき、$r^n$ は振動する

* $r<-1$ のとき、$r^n$ は振動する

(1) $r = \sqrt{3} > 1$ なので、$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{3})^n = \infty$

(2) $r = \frac{2}{3}$ で、 $|\frac{2}{3}| < 1$ なので、$\lim_{n\to\infty} (\frac{2}{3})^n = 0$

(3) $r = -\frac{4}{3}$ で、$|-\frac{4}{3}| > 1$ なので、$(-\frac{4}{3})^n$ は振動し、極限は存在しません。

(4) $r = -\frac{4}{5}$ で、$|-\frac{4}{5}| < 1$ なので、$\lim_{n\to\infty} (-\frac{4}{5})^n = 0$ 。したがって、

$\lim_{n\to\infty} 2(-\frac{4}{5})^n = 2 \times 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $0$

(3) 極限なし (振動)

(4) $0$