(1) 不定積分 $\int 2x^2 dx$ を求め、 (2) $f(x) = -x^2 - 3$ を導関数とする関数 $F(x)$ のうち、$F(3) = 0$ を満たすものを求める問題。

1. 問題の内容

(1) 不定積分 $\int 2x^2 dx$ を求め、

(2) $f(x) = -x^2 - 3$ を導関数とする関数 $F(x)$ のうち、$F(3) = 0$ を満たすものを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の計算：

$\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx$

$= 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C$

$= 2 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

$= \frac{2}{3} x^3 + C$

よって、(ア) = 2, (イ) = 3, (ウ) = 3

(2) $f(x) = -x^2 - 3$ を導関数とする関数 $F(x)$ を求める：

$F(x) = \int f(x) dx = \int (-x^2 - 3) dx$

$= \int -x^2 dx + \int -3 dx$

$= -\frac{x^3}{3} - 3x + C$

$F(3) = 0$ を満たすので、

$F(3) = -\frac{3^3}{3} - 3(3) + C = 0$

$-9 - 9 + C = 0$

$C = 18$

したがって、$F(x) = -\frac{x^3}{3} - 3x + 18$

よって、(ア) = -1, (イ) = 3, (ウ) = -3, (エ) = 18

3. 最終的な答え

(1)の(ア) 2

(1)の(イ) 3

(1)の(ウ) 3

(2)の(ア) -1

(2)の(イ) 3

(a) -3

(b) 18