$\sqrt{20a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{20a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{20a}$ が自然数になるためには、$20a$ が平方数である必要がある。

まず、$20$ を素因数分解する。

$20 = 2^2 \times 5$

したがって、

$\sqrt{20a} = \sqrt{2^2 \times 5 \times a}$

$\sqrt{20a}$ が自然数になるためには、$5 \times a$ が平方数になる必要がある。

$a$ が最小の自然数になるためには、$5 \times a$ が最小の平方数になる必要がある。

$5 \times a$ が平方数になるためには、$a$ は少なくとも $5$ を因数に持つ必要がある。

したがって、$a = 5 \times k^2$ (kは自然数)の形で表される。

$a$ が最小の自然数となるのは、$k=1$ のときである。

よって、$a = 5 \times 1^2 = 5$

3. 最終的な答え

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