与えられた多項式 $12a^3b + 3a^2b^2 - 9ab^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $12a^3b + 3a^2b^2 - 9ab^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、各項に共通する因数を見つけます。

係数の12, 3, -9の最大公約数は3です。

$a^3b$, $a^2b^2$, $ab^3$ に共通する $a$ の最小の指数は1であり、$b$ の最小の指数も1です。したがって、共通因数は $3ab$ です。

次に、共通因数で各項を割ります。

$12a^3b \div 3ab = 4a^2$

$3a^2b^2 \div 3ab = ab$

$-9ab^3 \div 3ab = -3b^2$

したがって、与えられた多項式は次のように因数分解できます。

$12a^3b + 3a^2b^2 - 9ab^3 = 3ab(4a^2 + ab - 3b^2)$

次に、括弧の中の二次式 $4a^2 + ab - 3b^2$ を因数分解することを試みます。

これは $4a^2 + 4ab - 3ab - 3b^2$ と書き換えられ、

$4a(a+b) - 3b(a+b) = (4a - 3b)(a+b)$ となります。

したがって、

$4a^2 + ab - 3b^2 = (4a-3b)(a+b)$

3. 最終的な答え

よって、与えられた多項式の因数分解は以下のようになります。

$3ab(4a-3b)(a+b)$