問題は、実数 $x, y$ に関する2つの命題の真偽を判定し、それぞれの逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を判定することです。 (1)「$x=2$ ならば $x^2-3x+2=0$」 (2)「$x+y \ge 3$ ならば $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$」

1. 問題の内容

問題は、実数 $x, y$ に関する2つの命題の真偽を判定し、それぞれの逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を判定することです。

(1)「$x=2$ ならば $x^2-3x+2=0$」

(2)「$x+y \ge 3$ ならば $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$」

2. 解き方の手順

(1)

* **元の命題**: $x=2$ ならば $x^2 - 3x + 2 = 0$

$x=2$ を $x^2 - 3x + 2$ に代入すると $2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$。したがって、元の命題は真。

* **逆**: $x^2 - 3x + 2 = 0$ ならば $x = 2$

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ なので、$x = 1$ または $x = 2$。よって、$x = 1$ の場合があるので、逆は偽。

* **対偶**: $x^2 - 3x + 2 \ne 0$ ならば $x \ne 2$

元の命題が真なので、対偶も真。

* **裏**: $x \ne 2$ ならば $x^2 - 3x + 2 \ne 0$

$x = 1$ ならば $x \ne 2$ であり、$x^2 - 3x + 2 = 0$ となるので、裏は偽。

(2)

* **元の命題**: $x + y \ge 3$ ならば $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$

$x = 0$ かつ $y = 3$ のとき、$x + y = 3 \ge 3$ であるが、$x \ge 1$ を満たさないので、元の命題は偽。

* **逆**: $x \ge 1$ かつ $y \ge 2$ ならば $x + y \ge 3$

$x \ge 1$ かつ $y \ge 2$ より、$x + y \ge 1 + 2 = 3$。したがって、逆は真。

* **対偶**: $x < 1$ または $y < 2$ ならば $x + y < 3$

元の命題が偽なので、対偶も偽。

* **裏**: $x + y < 3$ ならば $x < 1$ または $y < 2$

逆が真なので、裏も真。

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽

(2)

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 対偶: 偽

* 裏: 真