(1) $(x^2 - \frac{1}{2x^3})^5$ の展開式における定数項を求める。 (2) $(x^2 - 2x + 2)^4$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 - \frac{1}{2x^3})^5$ の展開式における定数項を求める。

(2) $(x^2 - 2x + 2)^4$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を使って展開式の一般項を求める。一般項において、$x$ の指数が 0 となるような項が定数項である。

$(x^2 - \frac{1}{2x^3})^5$ の展開式の一般項は、

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{}_5 C_r (x^2)^{5-r} (-\frac{1}{2x^3})^r = {}_5 C_r x^{10-2r} (-\frac{1}{2})^r x^{-3r} = {}_5 C_r (-\frac{1}{2})^r x^{10-5r}

$$$$

定数項を求めるには、$10-5r = 0$ となる $r$ を探す。

$10 - 5r = 0$ より $r = 2$。

したがって、定数項は

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{}_5 C_2 (-\frac{1}{2})^2 = \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{1}{4} = 10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{2}

$$$$

(2) $(x^2 - 2x + 2)^4$ の展開式における $x^5$ の係数を求める。

$(x^2 - 2x + 2)^4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

$x^2$, $-2x$, $2$ から項をそれぞれ選んで掛け合わせ、4つの項の積が $x^5$ になる組み合わせを考える。

可能な組み合わせは以下の通り。

* $x^2, x^2, x^2, -2x$: この並べ方は ${}_4 C_1 = 4$ 通り。係数は $4 \cdot (-2) = -8$

* $x^2, x^2, -2x, -2x, 2$とはならない。4つの項しかないので

* $x^2, -2x, -2x, -2x$: この並べ方は ${}_4 C_1 = 4$ 通り。係数は $4 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32$

したがって、$x^5$ の係数は $-8 - 32 = -40$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $-40$