微分 $f'(x) = (3x+5)(1-x)$ および条件 $f(1) = 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

微分 $f'(x) = (3x+5)(1-x)$ および条件 $f(1) = 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を展開します。

$f'(x) = (3x+5)(1-x) = 3x - 3x^2 + 5 - 5x = -3x^2 - 2x + 5$

次に、$f(x)$ を求めるために、$f'(x)$ を積分します。

$\int f'(x) dx = \int (-3x^2 - 2x + 5) dx$

$f(x) = -3 \int x^2 dx - 2 \int x dx + 5 \int dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

$f(x) = -x^3 - x^2 + 5x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

条件 $f(1) = 2$ を用いて、積分定数 $C$ を求めます。

$f(1) = -(1)^3 - (1)^2 + 5(1) + C = -1 - 1 + 5 + C = 3 + C = 2$

したがって、$C = 2 - 3 = -1$

よって、$f(x)$ は次のようになります。

$f(x) = -x^3 - x^2 + 5x - 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = -x^3 - x^2 + 5x - 1$

(1): -x^3

(a): -x^2

(b): 5x

(c): -1