$n$ を整数とするとき、以下の4つの命題を証明する。 (1) $n^2 + 3n + 4$ は偶数である。 (2) $n(n+1)(n+8)$ は6の倍数である。 (3) $2n^3 - 3n^2 + n$ は6の倍数である。 (4) $n^3 + 5n$ は6の倍数である。

1. 問題の内容

$n$ を整数とするとき、以下の4つの命題を証明する。

(1) $n^2 + 3n + 4$ は偶数である。

(2) $n(n+1)(n+8)$ は6の倍数である。

(3) $2n^3 - 3n^2 + n$ は6の倍数である。

(4) $n^3 + 5n$ は6の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $n^2 + 3n + 4$ が偶数であることの証明：

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ ($k$ は整数) と表せる。

$n^2 + 3n + 4 = (2k)^2 + 3(2k) + 4 = 4k^2 + 6k + 4 = 2(2k^2 + 3k + 2)$

これは偶数である。

$n$ が奇数のとき、$n = 2k + 1$ ($k$ は整数) と表せる。

$n^2 + 3n + 4 = (2k+1)^2 + 3(2k+1) + 4 = 4k^2 + 4k + 1 + 6k + 3 + 4 = 4k^2 + 10k + 8 = 2(2k^2 + 5k + 4)$

これは偶数である。

よって、$n^2 + 3n + 4$ は常に偶数である。

(2) $n(n+1)(n+8)$ が6の倍数であることの証明：

連続する2つの整数 $n$ と $n+1$ の積 $n(n+1)$ は必ず偶数であるため、2の倍数である。

また、$n(n+1)(n+8) = n(n+1)(n+2 + 6) = n(n+1)(n+2) + 6n(n+1)$

連続する3つの整数 $n(n+1)(n+2)$ は必ず3の倍数である。

$6n(n+1)$ は明らかに6の倍数である。

したがって、$n(n+1)(n+8)$ は2の倍数かつ3の倍数であるから、6の倍数である。

(3) $2n^3 - 3n^2 + n$ が6の倍数であることの証明：

$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n^2 - 3n + 1) = n(2n-1)(n-1) = n(n-1)(2n-1) = (n-1)n(2n-1)$

ここで、$2n-1 = 2(n-2) + 3$ であるから、$2n-1 = (n+2) - n - 3$

$2n^3 - 3n^2 + n = (n-1)n(2n-1) = (n-1)n(n+1 - n + n - 1) = (n-1)n(2n-1)$

$2n^3 - 3n^2 + n = (n-1)n(n+1)$

$n(n-1)(2n-1) = (n-1)n(2n-1) = (n-1)n((n+1)+(n-2)) = (n-1)n(n+1)+(n-1)n(n-2)$

$2n^3 - 3n^2 + n = n(n-1)(2n-1) = (n-1)n(2n-1) = n(n-1)(n+1) - n(n-1)(n+1)+ n(n-1)(2n-1)$

$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n^2 - 3n + 1) = n(n-1)(2n-1) = (n-1)n(2n-1) = (n-1)n(2n-4 + 3) = 2(n-2)(n-1)n + 3(n-1)n$

$2n^3 - 3n^2 + n = (n-1)n(n+1 - n) = (n-1)n(2n-1)$.

$n(n-1)(2n-1) = n(n-1)(n+1+n-2) = n(n-1)(n+1) + n(n-1)(n-2)$

$2n^3-3n^2+n=n(2n-1)(n-1)=n(n-1)(2n-1)$

ここで、$n, n-1$ のどちらかは偶数なので、2の倍数。

$n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$ のいずれかである。

$n \equiv 0 \pmod{3}$ ならば、$n$ が3の倍数。

$n \equiv 1 \pmod{3}$ ならば、$n-1$ が3の倍数。

$n \equiv 2 \pmod{3}$ ならば、$2n-1 \equiv 2(2)-1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$ なので、$2n-1$ が3の倍数。

したがって、(n-1)n(2n-1) は6の倍数である。

(4) $n^3 + 5n$ が6の倍数であることの証明：

$n^3 + 5n = n(n^2 + 5) = n(n^2 - 1 + 6) = n(n^2 - 1) + 6n = n(n-1)(n+1) + 6n$

$n(n-1)(n+1)$ は連続する3つの整数の積なので、2の倍数であり、3の倍数でもある。したがって6の倍数である。

$6n$ は明らかに6の倍数である。

よって、$n^3 + 5n$ は6の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + 3n + 4$ は偶数である。

(2) $n(n+1)(n+8)$ は6の倍数である。

(3) $2n^3 - 3n^2 + n$ は6の倍数である。

(4) $n^3 + 5n$ は6の倍数である。