$x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+\frac{1}{x}$ (2) $x^2+\frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+\frac{1}{x}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x+\frac{1}{x}$ の値を求めます。

まず $\frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

分母の有理化を行います。分母と分子に $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

次に $x+\frac{1}{x}$ を計算します。

$x+\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ という関係を使います。

したがって、$x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$ となります。

(1)より $x+\frac{1}{x} = \sqrt{6}$ なので、

$x^2+\frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x+\frac{1}{x} = \sqrt{6}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2} = 4$