問題は、以下の式を満たす $x$ を $0 < x < 1$ の範囲で求めることです。 $\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}(x+1)^2} = 0$

1. 問題の内容

問題は、以下の式を満たす $x$ を $0 < x < 1$ の範囲で求めることです。

$\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}(x+1)^2} = 0$

2. 解き方の手順

与えられた式が0になるためには、分子が0になる必要があります。なぜなら、分母が0になると式が定義されないか、無限大になってしまうからです。したがって、次の式を解けばよいことになります。

$-x^3 - 2x^2 + 1 = 0$

両辺に -1 を掛けて、

$x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

ここで、この3次方程式を解く必要があります。解を求めるのが難しいので、条件 $0 < x < 1$ を利用して、この範囲に解があるかどうかを調べます。

$f(x) = x^3 + 2x^2 - 1$ とおくと、

$f(0) = 0^3 + 2(0)^2 - 1 = -1$

$f(1) = 1^3 + 2(1)^2 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$

$f(0)$ は負の値で、$f(1)$ は正の値であることから、$0 < x < 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解が存在することがわかります。（中間値の定理）

解を求めるために、いくつかの値を試してみます。

$x = 0.5$ のとき、$f(0.5) = (0.5)^3 + 2(0.5)^2 - 1 = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375$

$x = 0.6$ のとき、$f(0.6) = (0.6)^3 + 2(0.6)^2 - 1 = 0.216 + 0.72 - 1 = -0.064$

$x = 0.7$ のとき、$f(0.7) = (0.7)^3 + 2(0.7)^2 - 1 = 0.343 + 0.98 - 1 = 0.323$

$x=0.6$のとき負の値、$x=0.7$のとき正の値をとることから、0.6と0.7の間に解が存在することがわかります。

正確な値を求めるのは困難なので、数値計算ツールなどを用いて近似値を求めると、$x \approx 0.618034$となります。

分母についてですが、$0 < x < 1$のとき、

$\sqrt{1-x^2} > 0$ かつ $(x+1)^2 > 0$ なので、分母が0になることはありません。

3. 最終的な答え

$x \approx 0.618034$