$\frac{2x+11}{x^2+x-6}$ を部分分数分解せよ。

1. 問題の内容

$\frac{2x+11}{x^2+x-6}$ を部分分数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、与えられた分数 $\frac{2x+11}{x^2+x-6}$ は、次のように部分分数に分解できると仮定します。

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+3)(x-2)$ を掛けると、次のようになります。

$2x+11 = A(x-2) + B(x+3)$

この式が全ての $x$ に対して成り立つように、AとBの値を決定する必要があります。

$x = 2$ の場合：

$2(2) + 11 = A(2-2) + B(2+3)$

$4 + 11 = 0 + 5B$

$15 = 5B$

$B = 3$

$x = -3$ の場合：

$2(-3) + 11 = A(-3-2) + B(-3+3)$

$-6 + 11 = -5A + 0$

$5 = -5A$

$A = -1$

したがって、$A = -1$ と $B = 3$ を得ました。

これらを部分分数の式に代入すると：

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)} = \frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x-2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x-2}$