与えられた関数 $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ について、以下の問題を解く。 * $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。 * 方程式 $f(x) = a$ が異なる4つの実数解を持つときの $a$ の範囲を求める。 * 方程式 $f(x) = x + b$ が異なる3つの実数解を持つときの $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ について、以下の問題を解く。

* $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

* 方程式 $f(x) = a$ が異なる4つの実数解を持つときの $a$ の範囲を求める。

* 方程式 $f(x) = x + b$ が異なる3つの実数解を持つときの $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最小値を求める。

絶対値を含むので、場合分けをする。

(i) $x \ge 0$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$。

この範囲での最小値は $x=2$ のとき $f(2) = -1$。

(ii) $x < 0$ のとき、$f(x) = x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 1$。

この範囲での最小値は $x=-2$ のとき $f(-2) = -1$。

したがって、$f(x)$ は $x = -2, 2$ のとき最小値 $-1$ をとる。

ア = 2

イ = 2

ウ = 1

(2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる4つの実数解を持つときの $a$ の範囲を求める。

$y = f(x)$ のグラフを考える。

$x \ge 0$ のとき $y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$。

$x < 0$ のとき $y = x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 1$。

グラフは $y$ 軸に関して対称である。

$x=0$ のとき $f(0) = 3$。

$f(x) = a$ が異なる4つの実数解を持つのは、$-1 < a < 3$ のときである。

エ = 1

オ = 3

(3) 方程式 $f(x) = x + b$ が異なる3つの実数解を持つときの $b$ の値を求める。

(i) $x \ge 0$ のとき、$x^2 - 4x + 3 = x + b \iff x^2 - 5x + (3-b) = 0$。

判別式 $D_1 = (-5)^2 - 4(3-b) = 25 - 12 + 4b = 13 + 4b$。

(ii) $x < 0$ のとき、$x^2 + 4x + 3 = x + b \iff x^2 + 3x + (3-b) = 0$。

判別式 $D_2 = 3^2 - 4(3-b) = 9 - 12 + 4b = 4b - 3$。

異なる3つの実数解を持つ条件は、以下のいずれかである。

(a) $D_1 = 0$ かつ $D_2 > 0$。

(b) $D_1 > 0$ かつ $D_2 = 0$。

(c) $D_1 > 0$, $D_2 > 0$ かつ $x=0$ が解になる（つまり $3=b$）。このとき$f(x)=x+3$となるので検討が必要。

(a) $13 + 4b = 0 \iff b = -\frac{13}{4}$。このとき、$4(-\frac{13}{4}) - 3 = -16 < 0$ なので不適。

(b) $4b - 3 = 0 \iff b = \frac{3}{4}$。このとき、$13 + 4(\frac{3}{4}) = 16 > 0$。

$x^2 - 5x + 3 - \frac{3}{4} = x^2 - 5x + \frac{9}{4} = 0 \iff (x - \frac{1}{2})(x- \frac{9}{2}) = 0 \iff x = \frac{1}{2}, \frac{9}{2}$. いずれも正なので適する。

$x^2 + 3x + 3 - \frac{3}{4} = x^2 + 3x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 = 0 \iff x = -\frac{3}{2} < 0$。

したがって、このとき3つの異なる解を持つ。

(c) b = 3 のとき，$x^2 - 5x = 0$ より $x(x-5)=0$ よって $x=0,5$. $x^2 + 3x = 0$ より $x(x+3) = 0$ よって $x=0,-3$. よって異なる3つの解 $-3, 0, 5$を持つ。

$b=\frac{3}{4}$の場合、 $x = \frac{9}{2}$ と $x = \frac{1}{2}$ は $x\ge 0$ を満たし, $x = -\frac{3}{2}$ は $x < 0$ を満たすので、3つの解を持つ。

b = 3 のとき、$x=5, -3, 0$ は条件を満たす。

ここでは、$b = \frac{3}{4}$の場合を採用する。

カ = 3

キ = 4

ク = 0

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 2

ウ = 1

エ = 1

オ = 3

カ = 3

キ = 4

ク = 0