$\frac{2}{x^2-1}$ を部分分数分解せよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{x^2-1}$ を部分分数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

したがって、

$\frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}$

部分分数分解を以下のように仮定します。

$\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(x-1)(x+1)$ を掛けると、

$2 = A(x+1) + B(x-1)$

この式がすべての $x$ について成り立つように $A$ と $B$ を求めます。

$x = 1$ を代入すると、

$2 = A(1+1) + B(1-1)$

$2 = 2A$

$A = 1$

$x = -1$ を代入すると、

$2 = A(-1+1) + B(-1-1)$

$2 = -2B$

$B = -1$

したがって、

$\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$