与えられた順列の値を計算する問題です。具体的には、(1) $ {}_5P_2 $, (2) $ {}_8P_4 $, (3) $ {}_3P_1 $, (4) $ {}_6P_6 $ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた順列の値を計算する問題です。具体的には、(1) ${}_5P_2$, (2) ${}_8P_4$, (3) ${}_3P_1$, (4) ${}_6P_6$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

順列 ${}_nP_r$ の定義は、異なる $n$ 個のものから $r$ 個を選んで並べる場合の数であり、次の式で計算されます。

$${}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。

(1) ${}_5P_2$ の計算

$${}_5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20$$

(2) ${}_8P_4$ の計算

$${}_8P_4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$$

(3) ${}_3P_1$ の計算

$${}_3P_1 = \frac{3!}{(3-1)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$$

(4) ${}_6P_6$ の計算

$${}_6P_6 = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} = \frac{6!}{1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

（$0! = 1$ であることに注意）

3. 最終的な答え

(1) ${}_5P_2 = 20$

(2) ${}_8P_4 = 1680$

(3) ${}_3P_1 = 3$

(4) ${}_6P_6 = 720$