3次式 $P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - q$ があり、$P(1) = 0$である。ただし、$p, q$ は実数の定数である。 (1) $q$ を $p$ を用いて表す。 (2) $P(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解を持つような $p$ の値の範囲を求める。 (3) (2)のとき、方程式 $P(x) = 0$ の2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha^2 = 2\beta$ が成り立つとき、$p$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次式 $P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - q$ があり、$P(1) = 0$である。ただし、$p, q$ は実数の定数である。

(1) $q$ を $p$ を用いて表す。

(2) $P(x)$ を因数分解し、方程式 $P(x) = 0$ が虚数解を持つような $p$ の値の範囲を求める。

(3) (2)のとき、方程式 $P(x) = 0$ の2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とする。$\alpha^2 = 2\beta$ が成り立つとき、$p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(1) = 0$ を利用して、$q$ を $p$ で表す。

$P(1) = 1^3 + (p-1)1^2 + p(1) - q = 1 + p - 1 + p - q = 2p - q = 0$

よって、$q = 2p$

(2) $P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - 2p$

(1)より、$q = 2p$なので、$P(x) = x^3 + (p-1)x^2 + px - 2p$

$P(1) = 0$ より、$x-1$ を因数に持つので、組立除法を行う。

```

1 | 1 p-1 p -2p

| 1 p 2p

----------------

1 p 2p 0

```

$P(x) = (x-1)(x^2 + px + 2p)$

$P(x) = 0$ が虚数解を持つためには、$x^2 + px + 2p = 0$ が虚数解を持つ必要がある。

判別式 $D = p^2 - 4(1)(2p) = p^2 - 8p < 0$

$p(p-8) < 0$

$0 < p < 8$

(3) $x^2 + px + 2p = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -p$, $\alpha\beta = 2p$

$\alpha^2 = 2\beta$ のとき、

$\alpha + \frac{\alpha^2}{2} = -p$

$\alpha (\frac{\alpha^2}{2}) = 2p$

$\alpha(\alpha^2) = 4p$

$\alpha^3 = 4p$

$\alpha^3 = -4(\alpha + \frac{\alpha^2}{2})$

$\alpha^3 = -4\alpha - 2\alpha^2$

$\alpha^3 + 2\alpha^2 + 4\alpha = 0$

$\alpha (\alpha^2 + 2\alpha + 4) = 0$

$\alpha = 0$ または $\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$

$\alpha \neq 0$ (なぜなら、$\alpha$ は虚数解)

$\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$

$\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

$\alpha = -1 + i\sqrt{3}$ とすると、$\beta = \frac{\alpha^2}{2} = \frac{(-1 + i\sqrt{3})^2}{2} = \frac{1 - 2i\sqrt{3} - 3}{2} = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{2} = -1 - i\sqrt{3}$

このとき、$\alpha + \beta = -2 = -p$ より、$p = 2$

$\alpha\beta = (-1 + i\sqrt{3})(-1 - i\sqrt{3}) = 1 + 3 = 4 = 2p$ より、$p = 2$

$\alpha = -1 - i\sqrt{3}$ とすると、$\beta = \frac{\alpha^2}{2} = \frac{(-1 - i\sqrt{3})^2}{2} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{2} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{2} = -1 + i\sqrt{3}$

このとき、$\alpha + \beta = -2 = -p$ より、$p = 2$

$\alpha\beta = (-1 - i\sqrt{3})(-1 + i\sqrt{3}) = 1 + 3 = 4 = 2p$ より、$p = 2$

$0 < p < 8$ を満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $q = 2p$

(2) $P(x) = (x-1)(x^2 + px + 2p)$, $0 < p < 8$

(3) $p = 2$