SENSEI AI
About App

問題は、自然数 $n$ と0以上の整数 $x_1, x_2, ..., x_{2n}$ に対して、以下の3つの条件を考えます。 (1) $\sum_{k=1}^n x_k = m$ (2) $\sum_{k=1}^{n+1} x_k \ge n+1$ (3) $\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n$ (1) では、条件(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 $(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n})$ の個数を、$m$ と $n$ で表すように求められています。 (2) では、$1 \le m \le n$ を満たす整数 $m$ に対して、$_{2n+m-2}C_{2n-2} - 2 \cdot {}_{2n+m-1}C_{2n-1} + {}_{2n+m}C_{2n}$ を示せ、と問われています。 (3) では、条件(1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 $(x_1, x_2, ..., x_{2n})$ の個数を、$n$ で表すように求められています。

離散数学組み合わせ重複組み合わせ二項係数Σ記号数列
2025/5/8
はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

問題は、自然数 nn と0以上の整数 x1,x2,...,x2nx_1, x_2, ..., x_{2n} に対して、以下の3つの条件を考えます。
(1) ∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^n x_k = m
(2) ∑k=1n+1xk≥n+1\sum_{k=1}^{n+1} x_k \ge n+1
(3) ∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n
(1) では、条件(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 (xn+1,xn+2,...,x2n)(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n}) の個数を、mm と nn で表すように求められています。
(2) では、1≤m≤n1 \le m \le n を満たす整数 mm に対して、2n+m−2C2n−2−2⋅2n+m−1C2n−1+2n+mC2n_{2n+m-2}C_{2n-2} - 2 \cdot {}_{2n+m-1}C_{2n-1} + {}_{2n+m}C_{2n} を示せ、と問われています。
(3) では、条件(1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 (x1,x2,...,x2n)(x_1, x_2, ..., x_{2n}) の個数を、nn で表すように求められています。

2. 解き方の手順

(1)
∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n を満たす0以上の整数の組 (xn+1,xn+2,...,x2n)(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n}) の個数を求めます。これは、2n2n 個のボールを nn 個の箱に入れる場合の数と考えることができます。したがって、その個数は重複組み合わせで表され、2n+n−1Cn−1=3n−1Cn−1=3n−1C2n{}_{2n + n - 1}C_{n-1} = {}_{3n-1}C_{n-1} = {}_{3n-1}C_{2n}となります。
条件(2)は、xn+1≥n+1−∑k=1nxk=n+1−mx_{n+1} \ge n+1 - \sum_{k=1}^n x_k = n+1 - m と書き換えられます。
ここで、xn+1′=xn+1−(n+1−m)x'_{n+1} = x_{n+1} - (n+1 - m) とおくと、xn+1′≥0x'_{n+1} \ge 0 であり、∑k=n+12nxk=xn+1′+(n+1−m)+∑k=n+22nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = x'_{n+1} + (n+1 - m) + \sum_{k=n+2}^{2n} x_k = 2nとなります。
したがって、∑k=n+22nxk+xn+1′=2n−(n+1−m)=n−1+m\sum_{k=n+2}^{2n} x_k + x'_{n+1} = 2n - (n+1 - m) = n-1+mとなります。これは n+1n+1個の変数(xn+1′,xn+2,...,x2nx'_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n})の和が n−1+mn-1+m である場合の数を求める問題に帰着されます。
したがって、求める個数は (n−1+m)+n−1Cn−1=2n+m−2Cn−1{}_{(n-1+m) + n -1}C_{n-1} = {}_{2n+m-2}C_{n-1} です。
(2) 与えられた式を整理します。 2n+m−2C2n−2−2⋅2n+m−1C2n−1+2n+mC2n{}_{2n+m-2}C_{2n-2} - 2 \cdot {}_{2n+m-1}C_{2n-1} + {}_{2n+m}C_{2n} は、パスカルの法則を利用して簡略化できます。
2n+m−2C2n−2−2n+m−1C2n−1−2n+m−1C2n−1+2n+mC2n{}_{2n+m-2}C_{2n-2} - {}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-1}C_{2n-1} + {}_{2n+m}C_{2n}
=2n+m−2C2n−2−(2n+mC2n−2n+m−1C2n−2)−2n+m−1C2n−1+2n+mC2n{}_{2n+m-2}C_{2n-2} - ({}_{2n+m}C_{2n} - {}_{2n+m-1}C_{2n-2}) - {}_{2n+m-1}C_{2n-1} + {}_{2n+m}C_{2n}
=2n+m−2C2n−2−2n+m−1C2n−1{}_{2n+m-2}C_{2n-2} - {}_{2n+m-1}C_{2n-1}
(3) (1),(2),(3)を同時に満たす(x1,x2,...,x2n)(x_1, x_2, ..., x_{2n})の個数は∑m=0n2n+m−2Cn−1\sum_{m=0}^n {}_{2n+m-2}C_{n-1}

3. 最終的な答え

(1) 2n+m−2Cn−1{}_{2n+m-2}C_{n-1}
(2) 0
(3)
∑m=0n2n+m−2Cn−1\sum_{m=0}^{n} {}_{2n+m-2}C_{n-1}

「離散数学」の関連問題

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられ、その部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap B = \{1, 2,...

集合集合演算ベン図
2025/8/1

* Aにはbまたはcを入れる。Bにはaまたはcを入れる。 * このとき、cはCに入れないという条件を満たさなければならない。 * (A,B) = (b, a), (b, c...

組み合わせ順列場合の数数え上げ
2025/8/1

4人の先生と2人の生徒が円形のテーブルに着席するとき、 (1) 座り方の総数を求める。 (2) 2人の生徒が向かい合って座る座り方を求める。

順列組み合わせ円順列場合の数
2025/8/1

図のような格子状の道がある町で、点Aから点Bまでの最短経路について、以下の問いに答える問題です。 * 最短経路の総数を求めます。 * 最短経路のうち、点Qを通るものの総数を求めます。 * ...

組み合わせ最短経路格子状の道場合の数
2025/8/1

IBARAKIの7文字を1列に並べるとき、B, R, Kがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるかを求める問題です。

順列組み合わせ文字列重複順列
2025/8/1

右図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数を求め、さらに最短経路のうちQを通るものの総数、PまたはQを通るものの総数を求める問題です。

組み合わせ最短経路場合の数順列
2025/8/1

右の図のような道のある町で、点Aから点Bまでの最短経路の総数、点Qを通る最短経路の総数、点Pまたは点Qを通る最短経路の総数をそれぞれ求めます。

組み合わせ最短経路場合の数格子状の道
2025/8/1

右の図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、そしてPまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路場合の数格子点
2025/8/1

IBARAKI の7文字を1列に並べるとき、B, R, K がこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

順列組み合わせ場合の数文字列
2025/8/1

12人の生徒を以下の条件でグループ分けする方法の数を求めます。 (1) 5人、4人、3人の3組に分ける。 (2) 4人ずつ3組に分ける。 (3) 特定の3人A、B、Cがそれぞれ異なるグループになるよう...

組み合わせ場合の数グループ分け順列
2025/8/1