2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + m + 7 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値とその重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + m + 7 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値とその重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-2(m+1))^2 - 4(1)(m+7) = 4(m+1)^2 - 4(m+7)$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m - 28$

$D = 4m^2 + 8m + 4 - 4m - 28$

$D = 4m^2 + 4m - 24$

重解を持つとき $D = 0$ なので、

$4m^2 + 4m - 24 = 0$

両辺を4で割ると、

$m^2 + m - 6 = 0$

$(m+3)(m-2) = 0$

よって、$m = -3$ または $m = 2$

(i) $m = -3$ のとき

2次方程式は $x^2 - 2(-3+1)x + (-3+7) = 0$ より、

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

したがって、$x = -2$ (重解)

(ii) $m = 2$ のとき

2次方程式は $x^2 - 2(2+1)x + (2+7) = 0$ より、

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

したがって、$x = 3$ (重解)

3. 最終的な答え

$m = -3$ のとき、重解は $x = -2$

$m = 2$ のとき、重解は $x = 3$