問題は2つあります。 (1) 7人の大人と何人かの子どもがいるとき、大人2人と子ども2人を選ぶ組み合わせの数を求めます。ただし、子どもの人数は不明です。 (2) 大人7人と何人かの子どもがいるとき、少なくとも1人の子どもが含まれるように4人を選ぶ組み合わせの数を求めます。ただし、子どもの人数は不明です。 画像にあるもう一つの問題は、4本の平行線とそれらに交わる5本の平行線によってできる平行四辺形の数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 7人の大人と何人かの子どもがいるとき、大人2人と子ども2人を選ぶ組み合わせの数を求めます。ただし、子どもの人数は不明です。

(2) 大人7人と何人かの子どもがいるとき、少なくとも1人の子どもが含まれるように4人を選ぶ組み合わせの数を求めます。ただし、子どもの人数は不明です。

画像にあるもう一つの問題は、4本の平行線とそれらに交わる5本の平行線によってできる平行四辺形の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 大人の選び方は、7人から2人を選ぶ組み合わせなので、$_7C_2$で計算できます。子どもの人数が不明なので、子どもの人数を$n$人として、子どもから2人を選ぶ組み合わせは、$_nC_2$となります。したがって、大2人、子ども2人を選ぶ組み合わせの総数は、$_7C_2 \times _nC_2$となります。$_7C_2$ は、

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

よって、大2人、子ども2人を選ぶ組み合わせは、$21 \times _nC_2$通りとなります。$n$が不明なので、ここまでしか計算できません。

(2) 全体から大人4人を選ぶ場合を除けばよいです。全体は大人7人と子ども$n$人の合計$7+n$人です。全体から4人を選ぶのは$_{7+n}C_4$通りです。大人4人を選ぶのは$_7C_4$通りです。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、少なくとも子どもが1人含まれるように4人を選ぶ組み合わせは、$_{7+n}C_4 - 35$通りとなります。$n$が不明なので、ここまでしか計算できません。

平行四辺形の数を求める問題。平行四辺形は2組の平行線で構成されます。4本の平行線から2本を選び、5本の平行線から2本選べば平行四辺形ができます。

4本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは$_4C_2$通りです。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

5本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは$_5C_2$通りです。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、できる平行四辺形の総数は$6 \times 10 = 60$個です。

3. 最終的な答え

(1) 大2人、子ども2人を選ぶ組み合わせ：$21 \times _nC_2$通り (ただし、$n$は子どもの人数)

(2) 少なくとも子どもが1人含まれるように4人を選ぶ組み合わせ：$_{7+n}C_4 - 35$通り (ただし、$n$は子どもの人数)

平行四辺形の数：60個