次の連立不等式を解く問題です。ただし、$a$ は定数です。 $\begin{cases} 2(x-2) > x+a \\ |x-1| < 3 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解く問題です。ただし、$a$ は定数です。

$\begin{cases}

2(x-2) > x+a \\

|x-1| < 3

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式を解きます。

$2(x-2) > x+a$ を展開すると、

$2x - 4 > x + a$

$2x - x > a + 4$

$x > a+4$

次に、2つ目の不等式を解きます。

$|x-1| < 3$

これは、$-3 < x-1 < 3$ と同値です。

各辺に1を足すと、

$-3+1 < x-1+1 < 3+1$

$-2 < x < 4$

したがって、

$\begin{cases}

x > a+4 \\

-2 < x < 4

\end{cases}$

この連立不等式を満たす $x$ が存在するためには、$a+4$ は4より小さく、-2より大きくなければなりません。

$a+4 < 4$ より $a < 0$

$a+4 > -2$ より $a > -6$

したがって、$-6 < a < 0$ の時、$a+4 < x < 4$

もし $a+4 \geq 4$ ならば $a \geq 0$ なので、連立不等式は解なし。

もし $a+4 \leq -2$ ならば $a \leq -6$ なので、連立不等式は解なし。

3. 最終的な答え

$-6 < a < 0$ のとき、$a+4 < x < 4$

$a \leq -6$ または $a \geq 0$ のとき、解なし