$\frac{22}{5+\sqrt{3}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値を求め、さらに、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求め、$an > 5$ を満たす整数 $n$ のうち最小のものを求める。

1. 問題の内容

$\frac{22}{5+\sqrt{3}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値を求め、さらに、$a^2 + \frac{1}{a^2}$ の値、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ の値を求め、$an > 5$ を満たす整数 $n$ のうち最小のものを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{22}{5+\sqrt{3}}$ を有理化する。

$\frac{22}{5+\sqrt{3}} = \frac{22(5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})} = \frac{22(5-\sqrt{3})}{25-3} = \frac{22(5-\sqrt{3})}{22} = 5-\sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3}$ のおよその値を考える。$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$5-2 < 5-\sqrt{3} < 5-1$ より、$3 < 5-\sqrt{3} < 4$ となる。

したがって、$5-\sqrt{3}$ の整数部分は3であるから、小数部分 $a$ は、$a = (5-\sqrt{3}) - 3 = 2-\sqrt{3}$ となる。

(1) $a^2 + \frac{1}{a^2}$ を求める。

まず、$\frac{1}{a} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

よって、$a+\frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$

$(a+\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 4^2 = 16$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 - 2 = 14$

次に、$a^2 - \frac{1}{a^2}$ を求める。

$a - \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) - (2+\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$

$(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a}) = a^2 - \frac{1}{a^2}$ より、$a^2 - \frac{1}{a^2} = 4 \times (-2\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$

(2) $an > 5$ を満たす最小の整数 $n$ を求める。

$a = 2-\sqrt{3}$ なので、$(2-\sqrt{3})n > 5$

$n > \frac{5}{2-\sqrt{3}} = \frac{5(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{5(2+\sqrt{3})}{4-3} = 5(2+\sqrt{3}) = 10+5\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.732 = 8.66$

$10+5\sqrt{3} \approx 10+8.66 = 18.66$

したがって、$n > 18.66$ を満たす最小の整数 $n$ は $n = 19$

3. 最終的な答え

$a = 2 - \sqrt{3}$

(1) $a^2 + \frac{1}{a^2} = 14$, $a^2 - \frac{1}{a^2} = -8\sqrt{3}$

(2) $n = 19$