与えられた問題は4つの小問からなります。 (1) $y = \sqrt{x^2 - 3}$ の $x=2$ における接線の方程式を求める。 (2) $y = \arctan(x)$ (または $y = \tan^{-1} x$) の $x=0$ における法線の方程式を求める。 (3) $y = \frac{2}{x} + \log x$ の区間 $[1, e]$ における最大値と最小値を求める。 (4) 区間 $[-1, 1]$ で $\arcsin(x) + \sqrt{2(1-x)} \le \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

与えられた問題は4つの小問からなります。

(1) $y = \sqrt{x^2 - 3}$ の $x=2$ における接線の方程式を求める。

(2) $y = \arctan(x)$ (または $y = \tan^{-1} x$) の $x=0$ における法線の方程式を求める。

(3) $y = \frac{2}{x} + \log x$ の区間 $[1, e]$ における最大値と最小値を求める。

(4) 区間 $[-1, 1]$ で $\arcsin(x) + \sqrt{2(1-x)} \le \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x^2 - 3}$ の $x=2$ における接線の方程式

* $x=2$ のとき、$y = \sqrt{2^2 - 3} = \sqrt{1} = 1$。接点は $(2, 1)$。

* $y' = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 - 3} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}$。

* $x=2$ における傾きは $y'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 - 3}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$。

* 接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 2)$ より、$y = 2x - 4 + 1$ なので、$y = 2x - 3$。

(2) $y = \arctan(x)$ の $x=0$ における法線の方程式

* $x=0$ のとき、$y = \arctan(0) = 0$。接点は $(0, 0)$。

* $y' = \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}$。

* $x=0$ における傾きは $y'(0) = \frac{1}{1 + 0^2} = 1$。

* 法線の傾きは接線の傾きの逆数に負の符号をつけたものなので、$-1$。

* 法線の方程式は $y - 0 = -1(x - 0)$ より、$y = -x$。

(3) $y = \frac{2}{x} + \log x$ の区間 $[1, e]$ における最大値と最小値

* $y' = \frac{d}{dx} (\frac{2}{x} + \log x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x - 2}{x^2}$。

* $y' = 0$ となるのは $x = 2$。区間 $[1, e]$ に含まれる。

* $x = 1$ のとき、$y = \frac{2}{1} + \log 1 = 2 + 0 = 2$。

* $x = 2$ のとき、$y = \frac{2}{2} + \log 2 = 1 + \log 2$。

* $x = e$ のとき、$y = \frac{2}{e} + \log e = \frac{2}{e} + 1$。

* $2 \approx 2.000$, $1 + \log 2 \approx 1 + 0.693 = 1.693$, $1 + \frac{2}{e} \approx 1 + \frac{2}{2.718} \approx 1 + 0.736 = 1.736$。

* したがって、最大値は $x = 1$ のときの $2$、最小値は $x = 2$ のときの $1 + \log 2$。

(4) 区間 $[-1, 1]$ で $\arcsin(x) + \sqrt{2(1-x)} \le \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示す。

* $f(x) = \arcsin(x) + \sqrt{2(1-x)}$ とする。

* $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{2(1-x)}} \cdot (-2) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}$。

* $f'(x) = \frac{\sqrt{2(1-x)} - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1 - x^2}\sqrt{2(1-x)}} = \frac{\sqrt{2(1-x)} - \sqrt{(1-x)(1+x)}}{\sqrt{1 - x^2}\sqrt{2(1-x)}} = \frac{\sqrt{1-x}(\sqrt{2} - \sqrt{1+x})}{\sqrt{1 - x^2}\sqrt{2(1-x)}}$

* $f'(x) = 0$ となるのは $x=1$ か $\sqrt{2} = \sqrt{1+x}$、つまり $2 = 1+x$ なので $x=1$。

* $x=1$の場合、$f(1) = \arcsin(1) + \sqrt{2(1-1)} = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$。

* $x=-1$の場合、$f(-1) = \arcsin(-1) + \sqrt{2(1-(-1))} = -\frac{\pi}{2} + \sqrt{4} = -\frac{\pi}{2} + 2$。

* $-\frac{\pi}{2} + 2 \approx -1.57 + 2 = 0.43$。

* $f(x)$ は $x=1$ のとき最大値 $\frac{\pi}{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 3$

(2) $y = -x$

(3) 最大値: $2$、最小値: $1 + \log 2$

(4) 最大値は $x=1$で$\frac{\pi}{2}$をとるため、区間 $[-1, 1]$ で $\arcsin(x) + \sqrt{2(1-x)} \le \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。