与えられた関数 $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$ の極値と極限値 $\lim_{x \to \pm \infty} y$ を求め、増減表を作成せよ。

## (1) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$ の問題

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$ の極値と極限値 $\lim_{x \to \pm \infty} y$ を求め、増減表を作成せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分して導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-2(x^2 - 1) = 0$ より $x^2 = 1$ となり、$x = \pm 1$ が得られます。

次に、$y''$を求めます。

$y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}\right)$

$y'' = \frac{(-4x)(x^2 + 1)^2 - (-2x^2 + 2) \cdot 2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}$

$y'' = \frac{(-4x)(x^2 + 1) - (-2x^2 + 2) \cdot 4x}{(x^2 + 1)^3}$

$y'' = \frac{-4x^3 - 4x + 8x^3 - 8x}{(x^2 + 1)^3}$

$y'' = \frac{4x^3 - 12x}{(x^2 + 1)^3}$

$y'' = \frac{4x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$

$x = -1$ のとき $y''(-1) = \frac{-4(-1-3)}{(1+1)^3} = \frac{16}{8} = 2 > 0$ なので、$x = -1$ で極小値をとります。

$x = 1$ のとき $y''(1) = \frac{4(1-3)}{(1+1)^3} = \frac{-8}{8} = -1 < 0$ なので、$x = 1$ で極大値をとります。

$x = -1$ のとき $y = \frac{2(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$ (極小値)

$x = 1$ のとき $y = \frac{2(1)}{(1)^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1$ (極大値)

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2 + 1} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} = 0$

増減表は以下のようになります。

| x | -∞ | ... | -1 | ... | 1 | ... | +∞ |

|---|----|-----|----|-----|---|-----|----|

| y' | | - | 0 | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↓ | -1 | ↑ | 1 | ↓ | 0 |

3. 最終的な答え

極大値：$x = 1$ のとき $y = 1$

極小値：$x = -1$ のとき $y = -1$

$\lim_{x \to \infty} y = 0$

$\lim_{x \to -\infty} y = 0$

## (2) $y = 2e^{-x} - e^{-2x}$ の問題

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 2e^{-x} - e^{-2x}$ の極値と極限値 $\lim_{x \to \pm \infty} y$ を求め、増減表を作成せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分して導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -2e^{-x} + 2e^{-2x}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-2e^{-x} + 2e^{-2x} = 0$

$2e^{-x}(e^{-x} - 1) = 0$

$e^{-x} = 1$

$-x = 0$

$x = 0$

次に、$y''$を求めます。

$y'' = 2e^{-x} - 4e^{-2x}$

$x = 0$ のとき、$y'' = 2 - 4 = -2 < 0$ なので、$x = 0$ で極大値をとります。

$x = 0$ のとき、$y = 2e^{0} - e^{0} = 2 - 1 = 1$

$\lim_{x \to \infty} (2e^{-x} - e^{-2x}) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} (2e^{-x} - e^{-2x}) = -\infty$

増減表は以下のようになります。

| x | -∞ | ... | 0 | ... | +∞ |

|---|----|-----|----|-----|----|

| y' | | + | 0 | - | |

| y | -∞ | ↑ | 1 | ↓ | 0 |

3. 最終的な答え

極大値：$x = 0$ のとき $y = 1$

$\lim_{x \to \infty} y = 0$

$\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$