与えられた二つの定積分の値を計算する問題です。 (1) $\int_1^3 (x+2)^2 dx - \int_1^3 (x-2)^2 dx$ (2) $\int_{-1}^0 (3x-1)^2 dx + \int_0^1 (3x-1)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた二つの定積分の値を計算する問題です。

(1) $\int_1^3 (x+2)^2 dx - \int_1^3 (x-2)^2 dx$

(2) $\int_{-1}^0 (3x-1)^2 dx + \int_0^1 (3x-1)^2 dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、それぞれの積分を展開します。

$\int_1^3 (x^2 + 4x + 4) dx - \int_1^3 (x^2 - 4x + 4) dx$

積分区間が同じなので、積分の中身をまとめることができます。

$\int_1^3 ((x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4)) dx$

$\int_1^3 (8x) dx$

積分を実行します。

$[4x^2]_1^3 = 4(3^2) - 4(1^2) = 4(9) - 4(1) = 36 - 4 = 32$

(2) 同様に、積分を展開します。

$\int_{-1}^0 (9x^2 - 6x + 1) dx + \int_0^1 (9x^2 - 6x + 1) dx$

積分区間が繋がっているので、まとめて積分できます。

$\int_{-1}^1 (9x^2 - 6x + 1) dx$

これは偶関数と奇関数に分けられます。$9x^2$ と $1$ は偶関数、$-6x$ は奇関数です。

$\int_{-1}^1 9x^2 dx - \int_{-1}^1 6x dx + \int_{-1}^1 1 dx$

奇関数の積分は 0 になるので、

$\int_{-1}^1 6x dx = 0$

したがって、

$\int_{-1}^1 (9x^2 + 1) dx = 2\int_0^1 (9x^2 + 1) dx$

$= 2[3x^3 + x]_0^1 = 2(3(1)^3 + 1 - (3(0)^3 + 0)) = 2(3+1) = 2(4) = 8$

3. 最終的な答え

(1) 32

(2) 8