与えられた数式を簡略化します。数式は次の通りです。 $\frac{a}{ab+b} - \frac{b}{a^2+ab}$

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化します。数式は次の通りです。

$\frac{a}{ab+b} - \frac{b}{a^2+ab}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$ab+b = b(a+1)$

$a^2+ab = a(a+b)$

したがって、数式は次のようになります。

$\frac{a}{b(a+1)} - \frac{b}{a(a+b)}$

次に、共通の分母を見つけます。共通の分母は $ab(a+1)(a+b)$ です。

各分数を共通の分母で書き換えます。

$\frac{a}{b(a+1)} = \frac{a \cdot a(a+b)}{b(a+1) \cdot a(a+b)} = \frac{a^2(a+b)}{ab(a+1)(a+b)}$

$\frac{b}{a(a+b)} = \frac{b \cdot b(a+1)}{a(a+b) \cdot b(a+1)} = \frac{b^2(a+1)}{ab(a+1)(a+b)}$

したがって、数式は次のようになります。

$\frac{a^2(a+b)}{ab(a+1)(a+b)} - \frac{b^2(a+1)}{ab(a+1)(a+b)}$

これらの分数を結合します。

$\frac{a^2(a+b) - b^2(a+1)}{ab(a+1)(a+b)}$

分子を簡略化します。

$a^2(a+b) - b^2(a+1) = a^3 + a^2b - ab^2 - b^2$

したがって、数式は次のようになります。

$\frac{a^3 + a^2b - ab^2 - b^2}{ab(a+1)(a+b)}$

3. 最終的な答え

$\frac{a^3 + a^2b - ab^2 - b^2}{ab(a+1)(a+b)}$