複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、複素数平面上で $z$ が描く図形について考える問題です。 (1) $z + \frac{1}{z}$ が実数となる条件を求める。 (2) (1)の条件から、$z = \overline{z}$ または $|z| = $ 定数となることがわかる。$z$ は虚数であることから、求める図形を特定する。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z}$ が実数となるように動くとき、複素数平面上で $z$ が描く図形について考える問題です。

(1) $z + \frac{1}{z}$ が実数となる条件を求める。

(2) (1)の条件から、$z = \overline{z}$ または $|z| =$ 定数となることがわかる。$z$ は虚数であることから、求める図形を特定する。

2. 解き方の手順

(1) $z + \frac{1}{z}$ が実数であるとき、その共役複素数と等しくなります。つまり、

$z + \frac{1}{z} = \overline{z + \frac{1}{z}}$

$z + \frac{1}{z} = \overline{z} + \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}$

$z + \frac{1}{z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}}$

これは選択肢②に当てはまります。

(2) 式②を変形します。

$z + \frac{1}{z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}}$

両辺に $z\overline{z}$ をかけると、

$z^2\overline{z} + \overline{z} = \overline{z}^2z + z$

$z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - (z - \overline{z}) = 0$

$z\overline{z}(z - \overline{z}) - (z - \overline{z}) = 0$

$(z\overline{z} - 1)(z - \overline{z}) = 0$

したがって、$z - \overline{z} = 0$ または $z\overline{z} = 1$

$z - \overline{z} = 0$ より $z = \overline{z}$

$z\overline{z} = |z|^2 = 1$ より $|z| = 1$

$z$ は虚数であるので、$z = \overline{z}$ は $z$ が実数であることを意味します。

$z$ が純虚数のとき $z = ai$ とすると、$z = \overline{z}$ が成り立ちますが、問題文より、$z$ は虚数なので、実数ではありません。従って $z = \overline{z}$ は除外されます。

したがって $|z| = 1$ となります。

$z$ が実数ではないことから、$z = \overline{z}$ となる実数軸上の点を除く必要があります。

$|z|=1$の円周上で、$z$が実数となるのは、$z=1$と$z=-1$の2点です。

したがって、求める図形は、原点を中心とした半径1の円から2点(1と-1)を除いたものです。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 3

(4) 1

(5) -1