(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 - 7x + 6$ を $x + 1$ で割った余りが $10$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。 (2) 多項式 $P(x)$ を $x - 2$ で割った余りが $-3$ 、$x + 3$ で割った余りが $22$ であるとき、$P(x)$ を $(x - 2)(x + 3)$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 - 7x + 6$ を $x + 1$ で割った余りが $10$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

(2) 多項式 $P(x)$ を $x - 2$ で割った余りが $-3$ 、$x + 3$ で割った余りが $22$ であるとき、$P(x)$ を $(x - 2)(x + 3)$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$P(-1) = 10$ が成り立つ。

$P(-1)$ を計算すると、

$P(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 - 7(-1) + 6 = -2 + a + 7 + 6 = a + 11$

したがって、$a + 11 = 10$

$a = 10 - 11$

$a = -1$

(2) $P(x)$ を $(x - 2)(x + 3)$ で割った余りは、1次以下の多項式であるから、$ax + b$ とおける。

このとき、$P(x) = (x - 2)(x + 3)Q(x) + ax + b$ と表せる。ただし、$Q(x)$ は商である。

剰余の定理より、$P(2) = -3$ かつ $P(-3) = 22$ が成り立つ。

$x = 2$ を代入すると、

$P(2) = (2 - 2)(2 + 3)Q(2) + 2a + b = 2a + b$

したがって、$2a + b = -3$

$x = -3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3 - 2)(-3 + 3)Q(-3) - 3a + b = -3a + b$

したがって、$-3a + b = 22$

2つの式を連立して解く。

$2a + b = -3$

$-3a + b = 22$

上の式から下の式を引くと、

$(2a + b) - (-3a + b) = -3 - 22$

$5a = -25$

$a = -5$

$2a + b = -3$ に $a = -5$ を代入すると、

$2(-5) + b = -3$

$-10 + b = -3$

$b = 7$

したがって、余りは $-5x + 7$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $-5x + 7$