問題は、$(\alpha + \beta)^5$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は、$(\alpha + \beta)^5$ を展開することです。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理とは、任意の整数 $n$ に対して、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$$

と展開できるというものです。ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数と呼ばれ、$n$ 個の中から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数であり、次のように計算できます。

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

今回の問題では、$a = \alpha$, $b = \beta$, $n = 5$ なので、二項定理を用いて展開すると、

$$(\alpha + \beta)^5 = \binom{5}{0}\alpha^5\beta^0 + \binom{5}{1}\alpha^4\beta^1 + \binom{5}{2}\alpha^3\beta^2 + \binom{5}{3}\alpha^2\beta^3 + \binom{5}{4}\alpha^1\beta^4 + \binom{5}{5}\alpha^0\beta^5$$

各二項係数を計算します。

$$\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!5!} = 1$$

$$\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!4!} = 5$$

$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

$$\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$$

$$\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!0!} = 1$$

これらの値を代入して、展開式は次のようになります。

$$(\alpha + \beta)^5 = 1 \cdot \alpha^5 \cdot 1 + 5 \cdot \alpha^4 \cdot \beta + 10 \cdot \alpha^3 \cdot \beta^2 + 10 \cdot \alpha^2 \cdot \beta^3 + 5 \cdot \alpha \cdot \beta^4 + 1 \cdot 1 \cdot \beta^5$$

3. 最終的な答え

したがって、最終的な答えは以下のようになります。

$$(\alpha + \beta)^5 = \alpha^5 + 5\alpha^4\beta + 10\alpha^3\beta^2 + 10\alpha^2\beta^3 + 5\alpha\beta^4 + \beta^5$$