$(\alpha + \beta)^3$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

$(\alpha + \beta)^3$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

二項定理または分配法則を利用して展開します。ここでは二項定理を使用します。

$(\alpha + \beta)^3 = {}_3C_0 \alpha^3 \beta^0 + {}_3C_1 \alpha^2 \beta^1 + {}_3C_2 \alpha^1 \beta^2 + {}_3C_3 \alpha^0 \beta^3$

ここで、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

それぞれの二項係数を計算します。

${}_3C_0 = \frac{3!}{0!3!} = 1$

${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$

${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$

${}_3C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

これらの係数を代入します。

$(\alpha + \beta)^3 = 1 \cdot \alpha^3 \cdot 1 + 3 \cdot \alpha^2 \cdot \beta + 3 \cdot \alpha \cdot \beta^2 + 1 \cdot 1 \cdot \beta^3$

したがって、

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$