## 数学の問題を解く

## 数学の問題を解く

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1. 問題の内容

与えられた10個の方程式を解きます。

(1) $x^3 - 216 = 0$

(2) $x^2 + 3x + 5 = 0$

(3) $x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 0$

(4) $x^2 - 6x + 1 = 0$

(5) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$

(6) $2x^2 - 7x + 4 = 0$

(7) $x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0$

(8) $x^4 - 36 = 0$

(9) $3x^2 - 4x + 2 = 0$

(10) $x^3 + 125 = 0$

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2. 解き方の手順

各方程式を個別に解きます。

(1) $x^3 - 216 = 0$

$x^3 = 216 = 6^3$

$x = 6$

複素数の解も考慮すると、$x^3 - 6^3 = (x-6)(x^2 + 6x + 36) = 0$

$x^2 + 6x + 36 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4*36}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-108}}{2} = \frac{-6 \pm 6i\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 3i\sqrt{3}$

(2) $x^2 + 3x + 5 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4*1*5}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{11}}{2}$

(3) $x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 0$

$x=-1$を代入すると $(-1)^3 - 6(-1)^2 + 3(-1) + 10 = -1 - 6 - 3 + 10 = 0$.

したがって、$x=-1$は解の1つである。

$(x^3 - 6x^2 + 3x + 10) \div (x + 1) = x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

したがって、$x = -1, 2, 5$.

(4) $x^2 - 6x + 1 = 0$

解の公式より、$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4*1*1}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

(5) $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$

$y = x^2$とおくと、$y^2 - 3y - 10 = 0$.

$(y - 5)(y + 2) = 0$.

$y = 5, -2$.

$x^2 = 5, -2$.

$x = \pm \sqrt{5}, \pm i\sqrt{2}$.

(6) $2x^2 - 7x + 4 = 0$

解の公式より、$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4*2*4}}{2*2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$.

(7) $x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0$

$x=1$を代入すると、$1^3 - 2(1)^2 - 11(1) + 12 = 1 - 2 - 11 + 12 = 0$.

したがって、$x=1$は解の1つである。

$(x^3 - 2x^2 - 11x + 12) \div (x - 1) = x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.

したがって、$x = 1, 4, -3$.

(8) $x^4 - 36 = 0$

$x^4 = 36$

$x^2 = \pm 6$

$x = \pm \sqrt{6}, \pm i\sqrt{6}$.

(9) $3x^2 - 4x + 2 = 0$

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4*3*2}}{2*3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{2 \pm i\sqrt{2}}{3}$.

(10) $x^3 + 125 = 0$

$x^3 = -125 = (-5)^3$

$x = -5$

複素数の解も考慮すると、$x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25) = 0$.

$x^2 - 5x + 25 = 0$ を解くと、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4*25}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{5 \pm 5i\sqrt{3}}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) $x = 6, -3 \pm 3i\sqrt{3}$

(2) $x = \frac{-3 \pm i\sqrt{11}}{2}$

(3) $x = -1, 2, 5$

(4) $x = 3 \pm 2\sqrt{2}$

(5) $x = \pm \sqrt{5}, \pm i\sqrt{2}$

(6) $x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$

(7) $x = 1, 4, -3$

(8) $x = \pm \sqrt{6}, \pm i\sqrt{6}$

(9) $x = \frac{2 \pm i\sqrt{2}}{3}$

(10) $x = -5, \frac{5 \pm 5i\sqrt{3}}{2}$