与えられた等式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、等式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導き、その結果を用いて、以下の式を因数分解する。 (1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ (2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

1. 問題の内容

与えられた等式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、等式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導き、その結果を用いて、以下の式を因数分解する。

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた等式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を変形する。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

ここで、$A = a+b$ とおくと、

$A^3 + c^3 - 3abA - 3abc = (A+c)(A^2 - Ac + c^2) - 3ab(A+c) = (A+c)(A^2 - Ac + c^2 - 3ab)$

$A = a+b$ を戻すと、

$(a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab) = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

したがって、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ が示された。

(2) 次に、この結果を用いて、以下の式を因数分解する。

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$

$c$ を $-c$ で置き換えると、$a^3 + b^3 + (-c)^3 - 3ab(-c) = a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$

したがって、

$a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a+b-c)(a^2 + b^2 + (-c)^2 - a(b) - b(-c) - a(-c)) = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

$x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3(x)(2y)(1) = x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 6xy$

ここで、$a = x$, $b = 2y$, $c = 1$ とおくと、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

したがって、

$x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy = (x+2y+1)(x^2 + (2y)^2 + 1^2 - x(2y) - (2y)(1) - x(1)) = (x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy = (x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$