与えられた式を簡略化します。式は次のとおりです。 $\frac{a^2-3}{a+1} + \frac{a+3}{a+2} - \frac{a^2-1}{a}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化します。式は次のとおりです。

$\frac{a^2-3}{a+1} + \frac{a+3}{a+2} - \frac{a^2-1}{a}$

2. 解き方の手順

まず、各項を通分するために、共通の分母を見つけます。共通の分母は $a(a+1)(a+2)$ です。

次に、各項を共通の分母で書き換えます。

$\frac{a^2-3}{a+1} = \frac{(a^2-3)a(a+2)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a(a^3+2a^2-3a-6)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a^4+2a^3-3a^2-6a}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{a+3}{a+2} = \frac{(a+3)a(a+1)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a(a^2+4a+3)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a^3+4a^2+3a}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{a^2-1}{a} = \frac{(a^2-1)(a+1)(a+2)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{(a^2-1)(a^2+3a+2)}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a^4+3a^3+2a^2-a^2-3a-2}{a(a+1)(a+2)} = \frac{a^4+3a^3+a^2-3a-2}{a(a+1)(a+2)}$

これらの項を元の式に代入します。

$\frac{a^4+2a^3-3a^2-6a}{a(a+1)(a+2)} + \frac{a^3+4a^2+3a}{a(a+1)(a+2)} - \frac{a^4+3a^3+a^2-3a-2}{a(a+1)(a+2)}$

分子をまとめます。

$\frac{(a^4+2a^3-3a^2-6a) + (a^3+4a^2+3a) - (a^4+3a^3+a^2-3a-2)}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{a^4+2a^3-3a^2-6a + a^3+4a^2+3a - a^4-3a^3-a^2+3a+2}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{(a^4-a^4) + (2a^3+a^3-3a^3) + (-3a^2+4a^2-a^2) + (-6a+3a+3a) + 2}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{0a^4 + 0a^3 + 0a^2 + 0a + 2}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{2}{a(a+1)(a+2)}$

$\frac{2}{a(a^2+3a+2)}$

$\frac{2}{a^3+3a^2+2a}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{a(a+1)(a+2)}$ または $\frac{2}{a^3+3a^2+2a}$