与えられた式は、以下の分数の引き算です。 $\frac{x^2 - x - 1}{x^2 - x - 2} - \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2 + 5x + 4}$

1. 問題の内容

与えられた式は、以下の分数の引き算です。

$\frac{x^2 - x - 1}{x^2 - x - 2} - \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2 + 5x + 4}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母と分子を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

$x^2 - x - 1$ はこれ以上簡単に因数分解できません。

$x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)$

$x^2 + 5x + 3$ はこれ以上簡単に因数分解できません。

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{x^2 - x - 1}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{x^2 + 5x + 3}{(x + 1)(x + 4)}$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $(x - 2)(x + 1)(x + 4)$ です。

それぞれの分数を共通分母で表現します。

$\frac{x^2 - x - 1}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{(x^2 - x - 1)(x + 4)}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)} = \frac{x^3 + 4x^2 - x^2 - 4x - x - 4}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)} = \frac{x^3 + 3x^2 - 5x - 4}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)}$

$\frac{x^2 + 5x + 3}{(x + 1)(x + 4)} = \frac{(x^2 + 5x + 3)(x - 2)}{(x + 1)(x + 4)(x - 2)} = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x^2 - 10x + 3x - 6}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)} = \frac{x^3 + 3x^2 - 7x - 6}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)}$

次に、これらの分数を引き算します。

$\frac{x^3 + 3x^2 - 5x - 4}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)} - \frac{x^3 + 3x^2 - 7x - 6}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)} = \frac{(x^3 + 3x^2 - 5x - 4) - (x^3 + 3x^2 - 7x - 6)}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)}$

$= \frac{x^3 + 3x^2 - 5x - 4 - x^3 - 3x^2 + 7x + 6}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)} = \frac{2x + 2}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)}$

分子を因数分解します。

$2x + 2 = 2(x + 1)$

したがって、

$\frac{2(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)(x + 4)}$

$x + 1$ を約分します。ただし、$x \neq -1$。

$\frac{2}{(x - 2)(x + 4)} = \frac{2}{x^2 + 2x - 8}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{x^2 + 2x - 8}$