初項が70、公差が-4の等差数列$\{a_n\}$について、 (1) 初項から第何項までの和が初めて負になるかを求めます。 (2) 初項から第何項までの和が最大になるかを求め、そのときの和を求めます。

1. 問題の内容

初項が70、公差が-4の等差数列$\{a_n\}$について、

(1) 初項から第何項までの和が初めて負になるかを求めます。

(2) 初項から第何項までの和が最大になるかを求め、そのときの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項から第n項までの和を$S_n$とすると、

$S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

ここで、$a=70$, $d=-4$を代入すると

$S_n = \frac{n}{2}(2 \times 70 + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(140 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(144 - 4n) = n(72 - 2n)$

$S_n < 0$となるnを求めます。

$n(72 - 2n) < 0$

$2n(36 - n) < 0$

$n(n - 36) > 0$

$n < 0$ または $n > 36$

$n$は自然数なので、$n>36$。

したがって、初めて負となるのは第37項までの和です。

(2) $a_n = a + (n-1)d = 70 + (n-1)(-4) = 70 - 4n + 4 = 74 - 4n$

$a_n > 0$となるnを求めます。

$74 - 4n > 0$

$74 > 4n$

$n < \frac{74}{4} = 18.5$

したがって、$a_{18} > 0$ であり、$a_{19} < 0$ であることがわかります。

初項から第n項までの和が最大となるのは、$a_n > 0$となる最大のnまでです。

よって、和が最大となるのは第18項までの和です。

$S_{18} = 18(72 - 2 \times 18) = 18(72 - 36) = 18 \times 36 = 648$

3. 最終的な答え

(1) 初めて負となるのは第37項までの和。

(2) 和が最大となるのは第18項までで、そのときの和は648。