連立方程式 $ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $ を行列を用いて解く問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

を行列を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を行列の形で表現します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

この行列を $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ とおくと、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ です。

次に、行列Aの逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

行列Aの行列式は $det(A) = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2$ です。

よって、逆行列 $A^{-1}$ は

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

連立方程式の解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(4) + \frac{1}{2}(2) \\ \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 3$ および $y = 1$ です。

3. 最終的な答え

$x = 3, y = 1$