不等式 $x^2 - 7 < |x - 5|$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - 7 < |x - 5|$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けして解く。

(i) $x \geq 5$ のとき、 $|x - 5| = x - 5$ であるから、不等式は

$x^2 - 7 < x - 5$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x - 2)(x + 1) < 0$

$-1 < x < 2$

$x \geq 5$ と $-1 < x < 2$ を満たす $x$ は存在しない。したがって、$x \geq 5$ の範囲には解がない。

(ii) $x < 5$ のとき、 $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$ であるから、不等式は

$x^2 - 7 < -x + 5$

$x^2 + x - 12 < 0$

$(x + 4)(x - 3) < 0$

$-4 < x < 3$

$x < 5$ と $-4 < x < 3$ を満たす $x$ は $-4 < x < 3$ である。

(i), (ii) より、 $-4 < x < 3$ が解である。

3. 最終的な答え

$-4 < x < 3$