xy平面上に原点O、点$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$、点$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$を隣接頂点とする平行四辺形の面積を求める問題です。ただし、$a$はy軸と平行ではない($a_1 \neq 0$)とします。以下の小問に答えます。 (1) 点$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、点$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$をそれぞれ$a$と$e_2$の線形和で表します。 (2) 任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$を$e_1$、$e_2$の線形和で表します。 (3) 任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して、$v$を通り$a$に平行な直線とy軸との交点$p(v)$の座標と、$v$を通りy軸に平行な直線と$a$を延長した直線との交点$q(v)$の座標を、「○○は線形なので」という説明を必ず用いてそれぞれ求めます。 (4) (3)の結果を行列と数ベクトルを用いて記述します。 (5) (3)の結果からこの平行四辺形の面積を求めます。 (6) (4)の結果の2つの行列および単位行列について、それらの和とスカラー倍が満たす非自明な等式（A-A=Oなどはダメ）を一つ挙げ、その図形的な意味を説明します。

1. 問題の内容

xy平面上に原点O、点$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$、点$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$を隣接頂点とする平行四辺形の面積を求める問題です。ただし、$a$はy軸と平行ではない($a_1 \neq 0$)とします。以下の小問に答えます。

(1) 点$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、点$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$をそれぞれ$a$と$e_2$の線形和で表します。

(2) 任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$を$e_1$、$e_2$の線形和で表します。

(3) 任意の点$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して、$v$を通り$a$に平行な直線とy軸との交点$p(v)$の座標と、$v$を通りy軸に平行な直線と$a$を延長した直線との交点$q(v)$の座標を、「○○は線形なので」という説明を必ず用いてそれぞれ求めます。

(4) (3)の結果を行列と数ベクトルを用いて記述します。

(5) (3)の結果からこの平行四辺形の面積を求めます。

(6) (4)の結果の2つの行列および単位行列について、それらの和とスカラー倍が満たす非自明な等式（A-A=Oなどはダメ）を一つ挙げ、その図形的な意味を説明します。

2. 解き方の手順

(1) $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$を$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$と$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$の線形和で表します。

$e_1 = c_1 a + c_2 e_2$となる$c_1, c_2$を求めます。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 a_1 \\ c_1 a_2 + c_2 \end{pmatrix}$

$c_1 a_1 = 1$より、$c_1 = \frac{1}{a_1}$。

$c_1 a_2 + c_2 = 0$より、$c_2 = -c_1 a_2 = -\frac{a_2}{a_1}$。

よって、$e_1 = \frac{1}{a_1} a - \frac{a_2}{a_1} e_2$。

$e_2 = 0 a + 1 e_2$

(2) $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$を$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$の線形和で表します。

$v = x e_1 + y e_2$

(3) $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$を通って$a$に平行な直線は、$v + t a = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t a_1 \\ y + t a_2 \end{pmatrix}$と表せます。この直線とy軸との交点$p(v)$は、$x + t a_1 = 0$となる点なので、$t = -\frac{x}{a_1}$となります。

したがって、$p(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ y - \frac{a_2}{a_1} x \end{pmatrix}$。

$p(v)$は、$x, y$の線形結合なので、線形です。

次に、$v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$を通ってy軸に平行な直線は、$v + s e_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y + s \end{pmatrix}$と表せます。

直線$a$は、$t a = \begin{pmatrix} t a_1 \\ t a_2 \end{pmatrix}$と表せます。

したがって、$q(v)$は、$x = t a_1$、かつ$y + s = t a_2$となる点です。

$t = \frac{x}{a_1}$なので、$y + s = \frac{x}{a_1} a_2$、$s = \frac{a_2}{a_1} x - y$。

$q(v) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{a_2}{a_1} x \end{pmatrix}$。

$q(v)$は、$x, y$の線形結合なので、線形です。

(4) $p(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ y - \frac{a_2}{a_1} x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$q(v) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{a_2}{a_1} x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(5) 平行四辺形の面積は、$|a_1 b_2 - a_2 b_1|$。

$p(b) = \begin{pmatrix} 0 \\ b_2 - \frac{a_2}{a_1} b_1 \end{pmatrix}$、面積は底辺$|a|$ x 高さ(bから直線aへの距離)。

平行四辺形の面積は$|a_1b_2 - a_2b_1|$に等しい。

(6) $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}$、$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$、$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$P + Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

$P + Q = I$

図形的な意味: 任意の点vに対して、$p(v) + q(v) = v$となります。これは、vをp(v)とq(v)に分解できることを意味します。

3. 最終的な答え

(1) $e_1 = \frac{1}{a_1} a - \frac{a_2}{a_1} e_2$, $e_2 = e_2$

(2) $v = xe_1 + ye_2$

(3) $p(v) = \begin{pmatrix} 0 \\ y - \frac{a_2}{a_1} x \end{pmatrix}$, $q(v) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{a_2}{a_1} x \end{pmatrix}$

(4) $p(v) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $q(v) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(5) $|a_1 b_2 - a_2 b_1|$

(6) $P + Q = I$、任意の点vに対して、$p(v) + q(v) = v$となる。