与えられた不等式を解く。具体的には以下の6つの不等式（または連立不等式）を解く。 (1) $-4x^2 < -4x + 1$ (2) $3x(x-2) > -10$ (3) $\sqrt{5}x \ge x^2 + 2$ (4) $\begin{cases} 2x^2 - x - 3 < 0 \\ 3x^2 - 10x + 3 \le 0 \end{cases}$ (5) $\begin{cases} x^2 - 4x + 2 > 0 \\ x^2 + 2x - 8 < 0 \end{cases}$ (6) $3 < x(4-x) \le -x$

以下に、画像内の不等式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く。具体的には以下の6つの不等式（または連立不等式）を解く。

(1) $-4x^2 < -4x + 1$

(2) $3x(x-2) > -10$

(3) $\sqrt{5}x \ge x^2 + 2$

(4)

$\begin{cases}

2x^2 - x - 3 < 0 \\

3x^2 - 10x + 3 \le 0

\end{cases}$

(5)

$\begin{cases}

x^2 - 4x + 2 > 0 \\

x^2 + 2x - 8 < 0

\end{cases}$

(6) $3 < x(4-x) \le -x$

2. 解き方の手順

(1)

$-4x^2 < -4x + 1$ を整理すると、

$4x^2 - 4x + 1 > 0$

$(2x-1)^2 > 0$

$2x-1 \neq 0$

$x \neq \frac{1}{2}$

(2)

$3x(x-2) > -10$ を整理すると、

$3x^2 - 6x + 10 > 0$

判別式 $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84 < 0$ なので、すべての $x$ に対して成立する。

(3)

$\sqrt{5}x \ge x^2 + 2$ を整理すると、

$x^2 - \sqrt{5}x + 2 \le 0$

判別式 $D = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 5 - 8 = -3 < 0$ なので、すべての $x$ に対して成立しない。したがって、解なし。

(4)

$\begin{cases}

2x^2 - x - 3 < 0 \\

3x^2 - 10x + 3 \le 0

\end{cases}$

$2x^2 - x - 3 = (2x-3)(x+1) < 0$ より、$-1 < x < \frac{3}{2}$

$3x^2 - 10x + 3 = (3x-1)(x-3) \le 0$ より、$\frac{1}{3} \le x \le 3$

共通範囲は $\frac{1}{3} \le x < \frac{3}{2}$

(5)

$\begin{cases}

x^2 - 4x + 2 > 0 \\

x^2 + 2x - 8 < 0

\end{cases}$

$x^2 - 4x + 2 = 0$ の解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$x^2 - 4x + 2 > 0$ より、$x < 2 - \sqrt{2}$ または $x > 2 + \sqrt{2}$

$x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2) < 0$ より、$-4 < x < 2$

共通範囲は $-4 < x < 2 - \sqrt{2}$

(6)

$3 < x(4-x) \le -x$

$3 < 4x - x^2$ より、$x^2 - 4x + 3 < 0$ よって、 $(x-1)(x-3) < 0$ より、$1 < x < 3$

$4x - x^2 \le -x$ より、$x^2 - 5x \ge 0$ よって、$x(x-5) \ge 0$ より、$x \le 0$ または $x \ge 5$

共通範囲は存在しない。したがって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x \neq \frac{1}{2}$

(2) すべての実数

(3) 解なし

(4) $\frac{1}{3} \le x < \frac{3}{2}$

(5) $-4 < x < 2 - \sqrt{2}$

(6) 解なし