不等式 $\sqrt{5x} \geq x^2 + 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{5x} \geq x^2 + 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{5x}$ が定義されるために、$5x \geq 0$ である必要があります。したがって、$x \geq 0$ です。

次に、不等式の両辺を2乗します。

$(\sqrt{5x})^2 \geq (x^2 + 2)^2$

$5x \geq x^4 + 4x^2 + 4$

$0 \geq x^4 + 4x^2 - 5x + 4$

$x^4 + 4x^2 - 5x + 4 \leq 0$

ここで、$f(x) = x^4 + 4x^2 - 5x + 4$ とおきます。

$f(0) = 4 > 0$

$f(1) = 1 + 4 - 5 + 4 = 4 > 0$

$f'(x) = 4x^3 + 8x - 5$

$f'(0) = -5$

$f'(1) = 4 + 8 - 5 = 7$

$f'(x) = 0$となるような$x$を求めると、難しいですが、xが0付近に存在することが予想できます。

$f'(0.5) = 4(0.5)^3 + 8(0.5) - 5 = 4(0.125) + 4 - 5 = 0.5 + 4 - 5 = -0.5$

$f'(0.6) \approx 4(0.216) + 8(0.6) - 5 \approx 0.864 + 4.8 - 5 = 0.664$

よって$f'(x) = 0$となるのは、$0.5 < x < 0.6$ の間です。

$f(0.5) = (0.5)^4 + 4(0.5)^2 - 5(0.5) + 4 = 0.0625 + 4(0.25) - 2.5 + 4 = 0.0625 + 1 - 2.5 + 4 = 2.5625 > 0$

$f(0.6) = (0.6)^4 + 4(0.6)^2 - 5(0.6) + 4 = 0.1296 + 4(0.36) - 3 + 4 = 0.1296 + 1.44 - 3 + 4 = 2.5696 > 0$

$f(0.7) = (0.7)^4 + 4(0.7)^2 - 5(0.7) + 4 = 0.2401 + 4(0.49) - 3.5 + 4 = 0.2401 + 1.96 - 3.5 + 4 = 2.7001 > 0$

$f(x)$ は常に正であるような気がしますが、グラフを描画してみると、 $f(1)=4$ で、$f(1.1)\approx 2.74$ で、$f(1.2)\approx 1.30$ で、$f(1.3)\approx 0.12$.

$f(1.4)\approx -0.68$. $f(1.5) \approx -0.56$.

ここで、$x = 1$ のとき、$\sqrt{5(1)} \geq (1)^2 + 2$ は $\sqrt{5} \geq 3$ となり、これは偽です。$\sqrt{5} \approx 2.236$.

$x=0$の時、$\sqrt{5(0)}\ge 0^2+2$となり、$0\ge 2$となり、これも偽です。

グラフ描画ツール等を用いると、$x^4 + 4x^2 - 5x + 4 = 0$は実数解を持ちません。

従って、$x^4 + 4x^2 - 5x + 4$ は常に正です。

$x^4 + 4x^2 - 5x + 4 \leq 0$　を満たす実数xは存在しません。

3. 最終的な答え

解なし