次の連立不等式を解け。 $\begin{cases} x^2 - 4x + 2 > 0 \\ x^2 + 2x - 8 < 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解け。

$\begin{cases}

x^2 - 4x + 2 > 0 \\

x^2 + 2x - 8 < 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $x^2 - 4x + 2 > 0$ を解きます。

$x^2 - 4x + 2 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x^2 - 4x + 2 > 0$ の解は、$x < 2 - \sqrt{2}$ または $x > 2 + \sqrt{2}$です。

次に、2つ目の不等式 $x^2 + 2x - 8 < 0$ を解きます。

$x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) = 0$ の解は、$x = -4, 2$です。

したがって、$x^2 + 2x - 8 < 0$ の解は、$-4 < x < 2$です。

連立不等式の解は、$x < 2 - \sqrt{2}$ または $x > 2 + \sqrt{2}$と$-4 < x < 2$の両方を満たす必要があります。

$2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$

$2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$

したがって、$-4 < x < 2-\sqrt{2}$となります。

3. 最終的な答え

$-4 < x < 2-\sqrt{2}$