定数 $m$ に対して、連立不等式 $\begin{cases} x^2-3mx+2m^2<0 \\ 2x^2-(m-4)x-2m<0 \end{cases}$ の整数解がただ一つとなるとき、定数 $m$ の値の範囲と、そのときの整数解を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $m$ に対して、連立不等式

$\begin{cases} x^2-3mx+2m^2<0 \\ 2x^2-(m-4)x-2m<0 \end{cases}$

の整数解がただ一つとなるとき、定数 $m$ の値の範囲と、そのときの整数解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式:

$x^2-3mx+2m^2<0$

$(x-m)(x-2m)<0$

よって、$m<x<2m$ または $2m<x<m$

2つ目の不等式:

$2x^2-(m-4)x-2m<0$

$(2x+m)(x-2)<0$

よって、$-\frac{m}{2}<x<2$ または $2<x<-\frac{m}{2}$

場合分けを考えます。

(1) $m>0$ の場合

$m<x<2m$ かつ $-\frac{m}{2}<x<2$

$m<x<2m$と$-\frac{m}{2}<x<2$の共通範囲に整数解が一つだけ存在する場合を考える。

$m<2$である必要がある。

もし$m=1$のとき，$1<x<2$かつ$-\frac{1}{2}<x<2$なので，共通範囲は$1<x<2$となり、整数解は存在しない。

もし$m=1.5$のとき，$1.5<x<3$かつ$-\frac{1.5}{2}<x<2$なので，共通範囲は$1.5<x<2$となり、整数解は存在しない。

$2m>2$のとき，つまり$m>1$のとき、$m<x<2$に整数解が存在すれば良い。

$2m<x<m$ の形にはなり得ない。

$-\frac{m}{2}<x<2$と$m<x<2m$が共通の解を持つ必要がある。

共通範囲に整数解が一つだけ存在するためには，

$1\leq m < 2$ または　$2< 2m < 3$つまり、$1<m<1.5$　となる。

整数解が1つとなるのは，$m<1.5$のときのみ．

$1 < m < 1.5$のとき、整数解は$x=1$．

(2) $m<0$ の場合

$2m<x<m$ かつ $-\frac{m}{2}<x<2$

$m= -1$ のとき，$-2 < x < -1$ と $0.5 < x < 2$ より，共通範囲は$0.5<x<2$ となり，整数解は$x=1$

$m=-2$ のとき，$-4<x<-2$と $1 < x<2$ より共通解はなし。

よって、 $-2<m<0$

$-\frac{m}{2} < x <2$と$2m<x<m$が共通の解を持つ必要がある。

$-\frac{m}{2}<2$より、$m>-4$なので、$m>-4$が条件として加わる。

$2m<x<m$に含まれる整数解がただ一つであるためには，$m$と$2m$の間の幅が小さい必要がある．

$m=-1.5$のとき，$2(-1.5)<x<-1.5$より$-3<x<-1.5$なので整数解は$-2$である．

$-1.5<x<2$なので，共通解は$1<x<2$より整数解は存在しない．

よって，$2m<-2$かつ$-1<m$となることはありえない．

$2<-\frac{m}{2}<3$のとき、$x=2$がただ一つの整数解．

$-6<m<-4$となる．

結局、$x=1$となるのは，$m<0$のときのみなので，

$1\leq-\frac{m}{2}<2$すなわち、 $-4<m\leq-2$となる。

$m<x<2m$という式がないので，$2m<x<m$のみを考慮する。

$-2<m\leq -1$　のとき、$2m<x<m$より、$-4<x<-2$となるので、解は存在しない。

$x<2$より，$m=1$の時，整数解は$x=1$

3. 最終的な答え

$1<m<2$のとき、$x=1$

$-6<m<-4$のとき、$x=2$

$m=-1$ のとき，整数解は$x=1$

$m=-1$のとき、$\begin{cases} 1<x<2\\ 0.5<x<2 \end{cases}$なので，共通範囲は$1<x<2$となり整数解はない。

答え

$m=1$のとき、$x=1$が整数解。

$m=-1$のとき、$x=1$が整数解。

$m$の範囲：なし。

$x=1$のとき、$m=1$.

$m=-1$ とすると，

$\begin{cases} -1<x<-2 \\ 0.5<x<2 \end{cases}$

$2m < x < m$より、整数解なし。

整数解がただ一つとなるとき、$x=1$, $m=1$